巧用函数的奇偶性解题

　　一、利用函数的奇偶性求参数

　　奇、偶函数有许多优美而独特的性质，如：奇、偶函数的定义域必关于原点对称；一般的f（x）为多项式函数时，若f（x）为奇函数，则x的偶次项的系数为零；若f（x）为偶函数，则x的偶次项的系数为零；若奇函数f(x)在x=0初有定义，则f（0）=0等。同学们在解题时,若能准确抓住这写性质，往往可以巧妙解题。

　　二、根据奇偶性求函数解析式

　　由奇函数的定义可知，当奇函数f（x）在x=0处有定义时，一定有f（0）

　　根据函数奇偶性的定义，由函数f（x）在原点一侧某一区间上的解析式必能求出函数f（x）在原点另一侧与之对应的区间上的解析式。

　　三、函数的奇偶性练习题

　　．函数f（x）=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是（ ）

　　．奇函数非偶函数B．偶函数非奇函数

　　．奇函数且偶函数D．非奇非偶函数

　　已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是( ）

　　奇函数 B.偶函数

　　既奇又偶函数D.非奇非偶函数

　　重庆)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，

　　且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是

　　．(2006春上海) 已知函数f(x)是定义在(－∞,+∞)上的偶函数

　　当x∈(－∞,0)时，f(x)=x-x4，则 当x∈(0.+∞)时，

　　判断下列函数的奇偶性：

　　＝

　　＝

　　（x）

　　已知g(x)=－x2－3,f(x)是二次函数，当x∈[-1,2]时，f(x)的最小值是1，且f(x)+g(x)是奇函数，求f(x)的表达式。

　　定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且f(1-a)+f(1-a2)<0,求a的取值范围

　　已知函数是奇函数,且上是增函数

　　求a,b,c的值

　　当x∈[-1,0)时,讨论函数的单调性

　　定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

　　求证f(x)为奇函数；

　　若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

　　下列四个命题：

　　（1）f（x）=1是偶函数；

　　（2）g（x）=x3，x∈（－1，1是奇函数；

　　（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）=f（x）·g（x）一定是奇函数；

　　（4）函数y=f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（ ）

　　．1 B．2C．3D．

　　（2005山东）下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是

　　若y=f（x）（x∈R）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y=f（x）上的是（ ）

　　．（a，f（－a）） B．（－sina，－f（－sina））

　　．（－lga，－f（lg）） D．（－a，－f（a））

　　已知f（x）=x4+ax3+bx－8，且f（－2）=10，则f（2）=_____________。

　　已知是R上的奇函数，则

　　若f(x)为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，又f(-2)=0，则xf(x)<0的解集为

　　已知y=f(x)是偶函数，且在上是减函数，则f(1－x2)是增函数的区间是

　　已知

　　（1）判断f（x）的奇偶性；

　　（2）证明f（x）>0。

　　函数的奇偶性（解答部分）

　　【提示或答案】

　　【基础知识聚焦】掌握函数奇偶性的定义。

　　【提示或答案】

　　【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念

　　【提示或答案】

　　【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念及数形结合的思想

　　【变式与拓展】

　　：f(x)是定义在R上的偶函数，它在上递减，那么一定有( ）

　　． B．

　　． D．

　　【变式与拓展】

　　：奇函数f(x)在区间[3，7]上递增，且最小值为5，那么在区间[－7，－3] 上是（ ）

　　．增函数且最小值为－

　　．增函数且最大值为－

　　．减函数且最小值为－

　　．减函数且最大值为－

　　【提示或答案】

　　【变式与拓展】已知f（x）是定义在R上的奇函数，x>0时，f（x）=x2－2x+3，则f（x）=________________。

　　【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式

　　．【提示或答案】

　　解(1)此函数的定义域为

　　∵f(-x)+f(x)＝lg(+x)+lg(-x)＝lg1＝

　　&there4;f(-x)＝-f(x)，即f(x)是奇函数。

　　此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。

　　（3）∵函数f（x）定义域（－∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，－x＜0，

　　&there4;f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）

　　当x＜0时，－x＞0，&there4;f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）

　　故函数f（x）为奇函数

　　【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念并会判断函数的奇偶性

　　．解：设则

　　是奇函数

　　（1）当时，最小值为：

　　（2）当时,f(2)=1无解；

　　（3）当时，

　　综上得：或

　　【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式，渗透数形结合

　　【提示或答案】

　　得

　　【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题

　　．【提示或答案】

　　解(1)是奇函数，则

　　由

　　由

　　又

　　当

　　当a=1时

　　【基础知识聚焦】结合具体函数，考查函数性质

　　【提示或答案】

　　分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=－x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．

　　证明：

　　，y∈R)， ①

　　令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

　　令y=－x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

　　．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

　　解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

　　·3)＜

　　，

　　·3＜-3+9+2，

　　·3+2＞0对任意x∈R都成立．令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

　　令f(t)=t2－(1+k)t+2,其对称轴

　　当时,f(0)=2>0,符合题意

　　当时,对任意t>0,f(t)>0恒成立

　　综上所述,所求k的取值范围是

　　【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题，使学生掌握方法。

　　【提示或答案】

　　【提示或答案】

　　【提示或答案】

　　【基础知识聚焦】掌握奇偶函数的性质及图象特征

　　【提示或答案】

　　【基础知识聚焦】考查奇偶性及整体思想

　　【变式与拓展】：f（x）=ax3+bx－8，且f（－2）=10，则f（2）=_____________。

　　【提示或答案】由f(0)=0得

　　【基础知识聚焦】考查奇偶性。若奇函数f(x)的定义域包含，则f(0)=0；

　　为偶函数ó

　　【提示或答案】画图可知，解集为

　　【提示或答案】

　　【提示或答案】（1）偶函数 （2）x>0时，f(x)>0,x<0时

　　作者：我是王老师 微信号dahan775885（关注我微信，回复高一数学，免费获取高一数学习题集及解答，高一数学复习资料）