缅怀:一代宗师卡尔曼

　　

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　　导读：卡尔曼，一位划时代的大师！一位成就了无数人的智者，一座很难超越的里程碑。他提出了系统的能控性和能观性，为控制理论的出现奠定了坚实的基础。这位匈牙利裔美国数学家提出的卡尔曼滤波，颠覆了通信，导航，制导与控制等多个领域，这对现代科技的发展无疑是巨大的。2016年7月2日，这位巨人陨落了，今天就让我们回顾一下这位传奇人物的一生，再次走近他终其一生所追求的数学世界！

　　

　　鲁道夫·卡尔曼

　　2016年7月2日凌晨，一代宗师卡尔曼与世长辞，享年86岁。

　　大师的一生

　　鲁道夫·卡尔曼（Rudolf Kalman），1930年5月19日出生于匈牙利首都布达佩斯，父亲是一位电气工程师，后来跟随父亲的脚步，移居美国并在麻省理工学院获得电气工程学士和硕士学位。之后，他又离开了麻省理工学院，前往哥伦比亚大学继续从事研究，并获得了哥伦比亚大学博士学位。（也曾是少年）

　　

　　年轻时候的卡尔曼

　　卡尔曼早期在麻省理工学院和哥伦比亚大学对控制系统充满了兴趣。他早期的研究主要是从实际问题出发，对状态变量表示概念的研究，这种研究在数学上很先进。他曾表示，早期的研究方法非常个性化，却在他后续辉煌的职业生涯中发挥了很大作用。

　　从1957到1958年，卡尔曼任职于纽约波基普西的IBM研究实验室。在纽约那段时间里，他对线性数据采样控制系统采用二次型性能标准的设计和控制系统分析与设计的Lyapunov理论的运用方面做出了重大贡献。当时，他已经预见到大规模数字计算机系统的重要性。

　　

　　卡尔曼做讲座

　　1958年，卡尔曼加入由已故的Solomon Lefschetz创办的RIAS（the Research Institute for Advanced Study）研究所。刚开始，他是作为一个数学研究人员，后来晋升为副主任。正是在那段时间（1958-1964），他在现代控制理论方面做出了开拓性贡献。他的演讲和出版物反映了他的巨大创造力和控制理论方面研究工作。他在基本系统概念的研究，如可控性和可观性方面，为一些重要的工程系统奠定了坚实的理论基础。他统一了离散时间和连续时间情况下线性系统的理论和设计方面的二次标准。为引入Caratheodory到最优控制理论，他做出了很多贡献，并阐明了Caratheodory、庞特里亚金（Pontryagin）最大值原理和哈密尔顿-雅可比-Bellman方程之间的关系，以及一般的变分法。

　　他的研究不仅强调数学的一般性，还将数字计算机作为设计过程的组成部分和控制系统实现的组成部分进行综合考虑。

　　在RIAS期间，卡尔曼做出了他一生中最著名的贡献，也就是所谓的“卡尔曼滤波”。1958年底到1959年初期间，他在离散时间（采样数据）问题方面取得了一些成果，并将早期的基础工作应用在维纳滤波、Kolmogorov、伯德、香农、普加乔夫和其他现代状态空间方法上。他对离散问题的研究自然而然地将他引向连续时间问题，并于1960-1961年期间与R.S.布西共同提出了“连续时间Kalman滤波器”。

　　

　　卡尔曼在第18届国际自动控制联合会上演讲

　　卡尔曼滤波器以及后来拓展到非线性问题的其它滤波器，是现代控制理论的接触代表，已被用于空间飞行器导航与控制（如阿波罗飞船）、雷达跟踪弹道导弹、过程控制算法与社会经济系统。它的广泛普及由于数字计算机被有效地用于设计阶段和实施阶段。从理论的角度来看，它是基于一个共同的过滤和控制概念以及这两个问题之间的对偶性。

　　1964年，卡尔曼前往斯坦福大学，在电气工程，力学和运筹学部门从事研究。在这期间，他的研究成果转向了与实现理论和代数系统理论相联系的基本问题。同事，也在一个基本领域开辟了新的研究途径，这一贡献在现代系统领域方面支撑并形成了一个新的研究领域。

　　1971年卡尔曼被聘任为佛罗里达大学教授，并成为数学系统理论中心的主任，他的教育和研究活动涉及到电气工程、工业工程和数学等部门。同时，他也担任巴黎矿业学院研究中心的科学顾问。

　　卡尔曼不仅塑造了现代控制理论，也在促进其应用方面做出了贡献。他的魅力人格和他在大学、会议和行业里众多的演讲吸引了无数的研究人员，他的想法也影响了很多人，成为了国际学术思想交流的推动力量。

　　

　　卡尔曼获美国国家科学奖章

　　卡尔曼已发表超过五十篇技术文章，并有许多讲座。在1962年的时候，他被马里兰科学院评为年度杰出青年科学家，并于1964成为IEEE院士。他是许多专业团体的一员，为众多期刊的编辑委员会服务。他是数学系统理论一书的合著者。他在1974年获得IEEE荣誉奖章，以表彰他对“现代系统理论方法的开拓性贡献，包括可控性、可观测性、滤波器和代数结构。”2008年获得查尔斯·斯塔克·德雷珀奖，该奖被誉为工程学界的诺贝尔奖。2009年获美国国家科学奖章。

　　怎样的历史环境造就了大师

　　卡尔曼是一个数学家。数学家的想法就是和工程师不一样。工程师脑子里转的第一个念头就是“我怎么控制这个系统？增益多少？控制器结构是什么样的？”数 学家想的却是什么解的存在性、唯一性之类虚头八脑的东西。不过呢，这么说数学家也不公平。好多时候，工程师凭想象和“实干”，辛苦了半天，发现得出的结果完全不合情理，这时才想起那些“性”（不要想歪了啊，嘿嘿），原来那些存在性、唯一性什么的还是有用的。

　　傅里叶，拉普拉斯等前辈在几个世纪前的天才想象和推导，发明了信号处理的变换域分析技术，就在全球学术界和工业界已经形成通过变换域解决复杂问题的惯常路线时，维纳和卡尔曼“胆大包天”反其道而行之，回到时域来观测世界。维纳滤波和卡尔曼滤波开创了现代信号处理的新视角，影响巨大。

　　

　　1974年的卡尔曼

　　卡尔曼从数学上推导出不可控和不可观的条件，从根本上解决了什么时候才不是瞎耽误工夫的问题。这是控制理论的一个重要里程碑。

　　卡尔曼把数学上的线性变换和线性空间的理论搬到控制里面，从此，搞控制的人有了工具，一个系统横着看不顺眼的话，可以竖着看，因为不管怎么看，系统的本质是一样的。但是不同的角度有不同的用处，有的角度设计控制器容易一点，有的角度分析系统的稳定性容易一点，诸如此类，在控制理论里就叫这个那个“标准型”。这是控制理论的又一个里程碑。

　　观测状态的目的最终还是控制。只用输出的反馈叫输出反馈，经典控制理论里的反馈都可以归到输出反馈里，但是用状态进行反馈的就叫状态反馈了。输出反馈对常见系统已经很有效了，但状态反馈要猛得多。你想想，一个系统的所有状态都被牢牢地瞄住，所有状态都乖乖地听从调遣，那是何等的专业？台商的大奶们的最高境界呀。

　　卡尔曼滤波器基本原理

　　

　　卡尔曼滤波器基本原理图

　　尽管学控制的人都要学现代控制理论，但大多数人记得卡尔曼还是因为那个卡尔曼滤波器（Kalman Filter），这种滤波方法以它的发明者鲁道夫·卡尔曼的名字命名。

　　称它为是滤波器，其实是一个状态观测器（state observer），用来从输入和输出“重构”系统的状态。这重构听着玄妙，其实不复杂。不是有系统的数学模型吗？只要模型精确，给它和真实系统一样的输入，它不就乖乖地把系统状态给计算出来了吗？且慢：微分方程的解不光由微分方程本身决定，还有一个初始条件，要是初始条件不对，微分方程的解的形式是正确的，但是数值永远差一拍。卡尔曼在系统模型的微分方程后再加了一个尾巴，把实际系统输出和模型计算的理论输出相比较，再乘上一个比例因子，形成一个实际上的状态反馈，把状态重构的偏差渐进地消除，解决了初始条件和其他的系统误差问题。卡尔曼滤波器最精妙之处，在于卡尔曼推导出一个系统的方法，可以考虑进测量噪声和系统本身的随机噪声，根据信噪比来决定上述比例因子的大小。这个构型其实不是卡尔曼的独创，隆伯格（Luenburg）也得出了类似的结构，但是从系统稳定性角度出发，来决定比例因子。同样的结构大量用于各种“预测-校正”模型结构，但不够精确，也无法把林林总总的无法测量的干扰因素统统包括进数学模型里，这时用实验室测定的真实值来定期校正，就可以结合数学模型及时的特点和实验室结果精确的特点，满足实时控制的要求，这或许可以算静态的卡尔曼滤波器。

　　卡尔曼滤波器（Kalman Filter），一言以蔽之，就是对一种按照某种固定方式变化的系统，用最优的方法去估计这个系统中某个状态的值。卡尔曼的贡献，一方面是证明了他提出的方法是“最优”的，另一方面则是完善了一整套理论去分析这种“按照某种固定方式的系统”。这里说的“按照某种固定方式的系统”，在飞机上，可以是飞机的速度、位置，也可以是飞机上某个零件的温度、压力；在机器人上，可以是一个小车的速度、位置，也可以是一个无人车周围的障碍物；在金融上，可以是股票的走势，也可以是某个公司的营收情况；在经济学上，可以是整个经济体的增长率，也可以是某种商品的进出口额。由于世界上很多变化的事物，都可以抽象成“按照某种固定方式的系统”，而且人们都有估计这些事物的“状态”的需求，并且无数应用证明卡尔曼滤波器在这些情况下都是适用的，因此卡尔曼滤波器能够满足人们的需求。

　　

　　卡尔曼和他的好基友们在美国佛罗里达大学

　　能够估计系统中某个状态的值之后，那能干的事情就多了。谈论机器人的例子（EKF-SLAM）可能有点抽象，我们来说个金融的例子。如果我设计了一个Kalman Filter能够估计股票的走势，那么我就可以提前判断出股票明天是涨是跌，我可能判断不了更久以后的情况，但是只多判断一天，我也已经可以通过高频交易的方式挣到钱了（我只是根据知乎网友的说法推断一下，毕竟我不是做金融的）。此外，我们还能在很多学科和领域里发现“状态估计”的重要性。

　　卡尔曼在给出卡尔曼滤波器的算法之后，进一步孜孜不倦地围绕卡尔曼滤波器完善了“线性系统估计”的一整套理论。我们前面提到的“按照某种固定方式的系统”，可以用包含矩阵、向量的微分方程来表示，也被叫做线性系统。卡尔曼给出了线性系统分析的方法，从而给现代控制理论的发展提供了非常坚实的数学基础。

　　卡尔曼滤波器最早的应用还是在雷达上。所谓边扫描边跟踪，就是用卡尔曼滤波器估计敌机的位置，再由雷达的间隙扫描结果来实际校正。实际应用中还有一个典型的问题：有时候，对同一个变量可以有好几个测量值可用，比如有的比较直接但不精确，有的是间接的估算，有很大的滞后但精确度高，这时可以用卡尔曼滤波器把不同来源的数据按不同的信噪比加权 “整合”起来，也算是民用版的“传感器融合”（sensor fusion）。

　　

　　卡尔曼滤波的五个步骤

　　卡尔曼理论的历史地位

　　除了卡尔曼滤波器外，卡尔曼的理论在实际中用得不多，但是卡尔曼的理论在理论上建立了一个出色的框架，对理解和研究控制问题有极大的作用。

　　

　　顺便说一句，卡尔曼的理论基本局限于线形系统，也就是说，十块大洋买一袋米，二十块大洋就买两袋米，都是成比例的。实际系统中有很多非线性的，两千块大洋还能买两百袋米，但两千万大洋就要看米仓有没有货了，市场涨不涨价了，不是钱越多，买的米越多，有一个非线性的问题。非线性的问题研究起来要复杂得多。实际系统还有其他特性，有的是所谓时变系统，像宇宙火箭，其质量随时间和燃料的消耗而变，系统特性当然也就变了。很多问题都是多变量的，像汽车转弯， 不光方向盘是一个输入，油门和刹车也是输入变量。但是，状态空间的理论在数学表述上为线性、非线性、单变量、多变量、时变、时不变系统提供了一个统一的框 架，这是卡尔曼最大的贡献。

　　搞控制有三拨人：电工出身的，化工出身的，和应用数学出身的。在卡尔曼之前，电工出身的占主导地位，数学家们好在象牙塔里打转转，化工出身则还对控制理论懵里懵懂，还在“实干”呢。卡尔曼之后，一大批数学出身的人，利用对数学工具的熟悉，转攻控制理论。一时间，控制理论的数学化似乎成了“天下大势，顺我者昌，逆我者亡”了。在状态空间的框架下，多变量没有太多的问题好研究，于是最优化成为控制理论的新时尚。

　　有人说21世纪人类最伟大的发现是相对论和量子力学，然而我觉得21世纪人类最伟大的发现是1944年克劳德-香农提出的信息论，1948年诺伯特-维纳提出的控制论，以及1960年鲁道夫-卡尔曼提出的线性系统论，我把他们叫做系统控制技术三大理论。在《硅谷之谜》一书中，信息论和控制论还有管理学中的系统论构成了硅谷发展的奥秘。而对于飞机火箭和各种自动控制设备中，则是卡尔曼的线性系统论，连接了信息论和控制论。

　　

　　Kalman被俄罗斯ITMO大学授予荣誉教授称号

　　两次世界大战塑造了一个新的世界，也留下了很多待解决的工程问题、待细化的理论问题。飞得更快的飞机、打得更准的导弹对信号处理、建模以及控制都提出了新的要求，这些要求驱使科学家和工程师们开发新的理论和技术，也促成了系统控制技术三大理论的发展。信息论、控制论和系统论把人类送上了月球，并在之后几十年里贡献了新的传感器、工业机床和机器人、微机电系统等等。

　　一些有争议的观点和视角

　　卡尔曼像牛顿，站在了巨人的肩膀上（维纳、香农等），完成了《系统、控制与滤波哲学的数学原理》。（香农的信息论是《通信、数据压缩等哲学的数学原理》）。牛顿写的是《自然哲学的数学原理》，研究的是自然（系统）的物理学。而卡尔曼、维纳、香农等，研究的是人造系统的物理学。所以《系统、控制与滤波哲学的数学原理》也可叫《人造（系统）哲学的数学原理》。

　　

　　卡尔曼

　　1.控制学者的分类。可参照理论物理学家与实验物理学家的分类。理论控制学家即控制理论家，但实验控制学家并不是指某一特殊领域的工程师，而是指通过实验手段研究人造系统共性的控制学家。可参照下面几条。

　　2.控制与数学的关系，与工程的关系。可参照物理学（如流体力学）与数学的关系，与工程的关系。物理不是数学，也不是工程，而是二者中间的一层，这点似乎世人都很明白。同样的，应该说卡尔曼不是数学家，也不是工程师。但现实却是，数学家认为卡尔曼做的是工程，工程师认为卡尔曼做的是数学：世人大都还未认识到这一层。

　　3.控制与其它工程学科的关系。物理学，如流体力学，并不需要依附于其所应用的某一特殊领域而存在。控制理论研究的是一切人造系统提炼出来的共性，并不需要依附于某一工程学科而存在。

　　4.控制的未来。十九世纪末、二十世纪初，大多物理学家认为，物理学的大厦（牛顿力学）已经成型，剩下的只是修修补补。开尔文说：“在物理学晴朗天空的远处，还有两朵小小的、令人不安的乌云。”这两朵乌云，指的是当时物理学无法解释的两个实验，一个是黑体辐射实验，另一个是迈克耳孙-莫雷实验。但这两朵“小小的”乌云，却被证明是另几片巨大天空的投影：相对论与量子力学。而且即使到现在，物理学的大厦是不是已经成型？是不是已经晴空万里？控制呢？大厦已经成型？有没有乌云？控制理论的相对论与量子力学会是什么？控制、机器人领域的学科大厦是否已经盖好？上面还有令人不安的乌云吗？如果把控制、机器人领域的现状比喻成牛顿时代，那么相对论、量子力学式的成果最可能出现在哪些方面？

　　关于这个问题，the bottom line is，未来不是可以完全预知的，只是可以在一定程度上预知，而且预测越远不确定性越大。（这不是体现了卡尔曼滤波哲学吗）一方面拭目以待，一方面事在人为。

　　

　　卡尔曼在佛罗里达大学授课

　　5.卡尔曼，乃至维纳、香农等，已经完全有资格获诺贝尔物理学奖。但此奖现在几乎只颁给自然系统物理学家。不过其实这些年来这一界限有点淡化，如光纤和蓝光 LED。另一方面，也许今后专门有个奖项，是关于人造系统的物理学。

　　6.控制在一定程度上追求的是truth，而且这 truth 往往只是适用于某个范围。比如卡尔曼滤波，是线性高斯白噪声系统的 truth。而同时，EKF、UKF 乃至 PF，arguably，还未达到 truth的level。这一点上，也可参照物理学。比如数量众多的宇宙模型，可以说大部分是错的，最终只有一个是（某个范围内的） truth level 的，而且也不能证实只能等待证伪。

　　7.Control是否dead？这点见仁见智。结合以上4的话，答案是很难说，因为可能大厦已经成型，也可能有更广阔的天空。结合以上6的话，则不能说很多理论不能用而就说控制已死（大多数理论不能用似乎是所有领域发展中的必经，直到找到那个 truth level 的）。首先理论各有自己的适用范围，其次是各个范围内真正truth level的理论只有一个。明确范围，并在各个范围内纷杂的理论中找到那个truth level的，才是正道。

　　8.控制学者是分层的。1中分为理论控制学家与实验控制学家，可能并不合适和全面。但分层是存在的。比如Kalman是一层，做出 UKF、PF的是一层，做出 SLAM 的是一层，做出以上各种算法变型以避免数值问题或者减少运算量的又是一层。乃至应用的也分层。引入新框架的是一层，在现有框架下调参的是一层，靠经验的是一层，甚至有的可在应用中做出发现反补理论，如此等等。而这分层，并不代表高低，而是定位。很多时候，明确这些很重要，比如各个研究group的倾向，乃至各个公司位置的要求。同样是做理论研究，同样是做工程应用，定位却可能很不一样。

　　9.有一种说法是，信息论第一代掌门是香农，第二代是Gallager，第三代是Tse。那如果说控制与滤波理论第一代掌门是维纳，第二代是卡尔曼的话，谁是第三代掌门？

　　

　　卡尔曼在学术会议现场

　　R.E. Kalman先生虽然去世了，但是世界上有不计其数的、以他名字命名的Kalman Filter在日夜不停地运行，作为稳定世界的控制器默默工作着。他的精神化为代码，将永存在人类文明中。

　　His passing not only brought about personal loss but also a sad reminder of the passing of a golden era in systems and control.

　　他的离去带来的不仅仅是个人的损失，还悲哀的标志着系统与控制的黄金时代的逝去。

　　后卡尔曼时代

　　或许系统与控制的黄金时代还没有到来。维纳和卡尔曼身处的二战后到人类登月前后的三十年时间，是系统与控制的地理大发现时代。线性系统作为一种世间万物的抽象描述，蕴含了丰富的性质，其意义已经超过了自动控制技术本身，几乎可以被称作是物理了。以卡尔曼为首的前辈们，深入挖掘了线性系统的丰富性质，给我们揭示了自动控制系统背后的数学原理，其意义不亚于写出《自然哲学的数学原理》的牛顿。

　　

　　一代宗师卡尔曼荣获美国国家科学奖章

　　牛顿运动学指导了人类文明近三百年之后，人类才第一次基于牛顿的理论设计出火箭、能够探测引力和行星运动的卫星和深空探测器。而系统控制三大理论只诞生了半个世纪，我们尚未看到这些理论会给人类文明带来多大的贡献。火箭没有随着牛顿运动定律诞生，是因为人类没有足够的推进、燃烧、材料和通信技术。与此相似的，复杂高级的机器人没有随着系统控制理论诞生，也是因为人类还没有足够的材料、计算和传感器技术。

　　我也毫不怀疑地相信，在未来的一百年中，在人类拥有了更多的技术之后，系统控制三大理论还会帮助人类造出更多的智能控制系统、机器人甚至是预测未来的机器。人类开始制造更复杂的机器人和智能系统的时候，系统与控制的黄金时代才会真正到来。

　　卡尔曼创立的线性系统理论，会被一代又一代的科学家和工程师们思考、研习、发展，很自豪我也是其中的一员。

　　来源：阿拉木卡

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