康托尔的无限王国

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　　为了比较两个集合数目的大小，康托尔下了一个定义：“如果能够根据某一法则，使集合M 与集合N 中的元素建立一一对应的关系……那么，集合M 与集合N 等势或者说具有相同的基数。”基数，是对有限集合元素个数概念的一个推广。康托尔这个定义的重要性表现在它并未限定集合是有限集还是无限集。

　　按照这一定义，显然自然数集与正偶数集的数目一样，具有相等的基数。对具有这一基数的无穷集合，康托尔称为可数集。于是，正偶数集、整数集、自然数的平方的集合因为能与自然数建立起一一对应关系，所以也都是可数集。并且可以证实，没有比可数集更小的无穷集合。或者说，在无穷集合的等级上，可数集是最小的。既然没有比它更小的，那么有没有比它更大的无穷集合呢？试图把握无限的康托尔由此踏上了一条不归路。

　　下一步的研究，会让我们非常自然地想到所熟悉的分数（或说是有理数集）。

　　自然数放在数轴上是稀稀落落的，而有理数则显得密密麻麻。凭直觉，我们会觉得有理数集似乎是可数集之上的一个新的等级，但康托尔给出的答案是：否！事实上，我们不难给出两者之间的一个一一对应关系。

　　比如我们可以把正分数按下述规则排列起来：写下分子与分母之和为2 的分数，这样的分数只有一个，即1 / 1；然后写下两者之和为3 的分数，即2 / 1 与1 / 2；再往下是两者之和是4 的，即3 / 1, 2 / 2, 1 / 3, …出现重复的则去掉，就这样一直做下去。于是便把所有的正有理数排成了一队。至于把0 与负有理数加进去也是一件很容易的事：在队列中先排上0，然后上面队列中每个正分数后跟上其相反数，这样所有的有理数就都排进去了。

　　可见，有理数与自然数竟然是一样多的！因此，有理数集也是可数集。看似多得多的有理数实际上并不比自然数多。

　　是不是所有的无穷大都是相同的呢？如果是这样，倒显得无穷王国太冷清了些。好在，事情并非如此。

　　1873 年11 月29 日，康托尔在给戴德金的一封信中提出了一个问题：自然数集与实数集之间能否一一对应起来，即自然数与实数个数是否相等？实际上，他已经把这个问题考虑了很久，特别是考虑连续性的本质时，他总要碰到这个根本的问题。他在信中说：“取所有自然数的集合，记为N，然后考虑所有实数的集合，记为R。简单说来，问题就是两者是否能够对应起来，使得一个集合中的每一个体只对应另一个集合中一个唯一的个体？乍一看，我们可以说答案是否定的，这种对应不可能，因为前者由离散的部分组成，而后者则构成一个连续统，但是从这种说法里我们什么也得不到。虽然我非常倾向于认为两者不能有这样的一一对应关系，但却找不出理由，我对这事极为关注，也许这理由非常简单。”

　　1873 年12 月7 日，康托尔再次写信给戴德金，说他已经成功证明了自己想法的正确性，即实数集不能同自然数集里的元素一一对应。这一天可以看作集合论的诞生日。

　　康托尔曾给出两种证明，他在第二种证明中使用了极其有名的对角线证法。这一证法并不复杂，让我们来领略一下吧。

　　在这种证明中，康托尔考虑的是区间(0,1] 上的点与自然数集不能一一对应。当然，如果能证明这一点，那么实数集全体就更不可能与自然数集一一对应了。

　　用反证法：假定(0,1] 是可数集，那么就可以把它里面的实数全部列出来，排成一个序列

　　现在将每个这样的实数写成十进小数形式（约定将有理数也写成无穷小数，如1/2= 0.4999... ）。于是实数集(0,1] 中的所有数可排成下面的序列：

　　现在构造一个数

　　使它的第n 位数字

　　做到这一点很容易。比如，只需在ann＝ 5 时，令bn =6 ； ann ≠5 时，令bn =5 即可。

　　如此构造出来的数

　　一定与上面序列中的任一数都不相同。因为至少它们第n位数字不同，也就是对角线上的数字至少不同（因此这种证法称为对角线法）

　　这意味着，当假设两者之间能一一对应时，我们指出这一对应遗漏了某个实数没有配上对，所以假设是错误的。我们不可能把区间(0,1] 中的所有数与自然数集对应起来。

　　这一证法简单、漂亮，从逻辑角度不可辩驳地证明了区间(0,1] 内的点不再是可数集，它是比可数集更高的等级。康托尔称之为不可数集（记作C）。另外容易证明，任何长度线段中的点，甚至整个数轴上的点都是相同的，都是不可数集。于是，上面提到的同心圆中大小圆上点谁多谁少的问题也有了答案：两者一样多。而且两者都是不可数集。

　　康托尔的这一成果在认识有理数与无理数集的内在区别方面也有着重要意义。不论是有理数，还是无理数，在实数轴上都是处处稠密的，即：在任意两个有理数之间，分布着无穷多个无理数；反之亦然。这样，我们直觉上会认为：实数轴上一定均匀地分布着两个基本相等的、巨大的有理数族与无理数族。然而康托尔的结论表明了两者间的区别绝不仅仅是前者可以写成有限小数或无限循环小数，而后者不能的问题。更大的区别在于：前者是可数的，而后者是不可数的。或者说，这意味着无理数（它是不可数集）在数量上大大超过有理数（它是可数集）。数不胜数的有理数当初是如此丰富，现在在实数集中却突然变得似乎无足轻重了。

　　在康托尔的研究之前，人们只辨认出有限集与无穷集这两种类型的集合，无人试图对无穷集再作什么区分，正是康托尔引起普遍的惊奇。他对无限集合进行深入研究，得到自然数集合是可数集，而实数集是不可数集，因而发现无穷集合具有不同的等级。

　　在得到上述的结论后，康托尔没有就此止步，他进一步思考有没有不可数集之上的等级。他首先考虑到：二维空间中的点应该多于一维直线上的点，因而空间上的点组成的集合应是比不可数集更大的等级。

　　1874 年1 月，在写给戴德金的信中他问道：区间和正方形这两个点的集合是否能够构成一一对应的关系？他近于肯定地认为，在二维正方形与一维线段之间是不可能存在这种对应关系的，因为前者似乎显然具有更多的点。虽然做出证明可能十分困难，但康托尔却认为证明也许是“多余”的。

　　然而，有趣的是，这一几乎多余的证明却从未能够做出。康托尔尽管尽了力，但始终未能证明在两者之间不存在一一对应关系。后来，1877 年，他发现原来的直觉是完全错误的，这种一一对应的关系竟然存在！

　　我们下面就在区间(0, 1) 与单位正方形两者间建立一种一一对应关系。如上面所介绍的，区间(0, 1) 内的点都可表示成无穷小数。任取一点，比如0.751 468 97...。我们可以把这个数的奇数位、偶数位分别取出来，得到两个新的数：0.7169... 与0.5487...。以这两个数作为横、纵坐标得到的点将落在单位正方形中，于是任一单位区间内的点可以用这种办法对应单位正方形内的一个点。反过来，如果任给了单位正方形内的一个点，只需要把这个点的横、纵坐标掺在一块，就得到单位区间上相应的点。比如，(0.248 63...，0.367 89...）可对应0.234 687 683 9...。因而，单位区间与单位正方形内点数是相同的。

　　与两条不同长度线段上的点相同类似，很容易证明正方形内点数的多少与它的大小也无关。所以，单位区间（或整条直线）上的点与整个平面上的点是一样多的。它们都是不可数集，具有相同的势。

　　证明简单易懂。但这个结果太出人意料了。这是康托尔提出的最令人惊奇，甚至在当时数学家中引起混乱的定理。从古希腊人以来，一直有这样的信念，即在一维、二维、三维几何对象（曲线、曲面和空间区域）之间有着深刻的区别，而康托尔的结论像是消除了这种差别！甚至康托尔本人也对这一出乎自己意料的结论感到震惊。在1877 年写给戴德金的信中报告这一发现时，他惊呼：“我发现了它，但简直不敢相信！”

　　在证明了二维空间的点也是不可数集后，下一步就变得简单了：一般的n 维空间也可以和直线建立一一对应关系！因而，任意n 维空间上的点都是不可数集。

　　还能找到比不可数集更大的基数吗？看起来，这次在寻找无穷等级的道路上我们可以停步了。真是这样吗？康托尔还有另外的惊奇展现给我们。

　　大胆向无限集合迈进的康托尔开始另辟新径，而且是一下子开辟了两条通向新的无穷的道路。

　　我们先介绍康托尔1891 年成功找到的一种证明更高基数存在的方法，他的这一研究结果，现在通常称为康托尔定理。让我们来领略领略他的想法吧。

　　给定一个集合A，假设它由两个元素组成，即A = {a, b}，容易知道这一集合的所有子集数有4 个：Ø、{a}、{b}、{a, b}。而这4 个集合放在一起，又能组成一个集合，这个集合康托尔称为幂集。那么显然的，有两个元素的集合的幂集共有4 个元素。

　　同样，一个具有三个元素的集合其幂集有8 个元素。一般地，一个包含n 个元素的集合其幂集元素个数为2? 。显然，有限集合幂集的元素数目要大于原集合。

　　当推广到无穷集合时，情况是否如此呢？或许凭直觉我们会认为这理所当然。但研究无限时直觉的局限与不可靠，我们在上面已经多次领教过了。不过，幸好这次我们的直觉与事实统一起来了。康托尔证明了：对任意一个集合来说，它的幂集基数总是大于原集基数。对这一定理的证明细节，我们不再多做介绍。

　　我们所了解的是，在有了这一结论后，就可以寻找到更大的基数了。

　　康托尔把可数集的基数称为阿列夫零，记作 ?? （? 是希伯来字母表的第一个字母）。于是，它的幂集基数可记为2?? ，并且?? ＜2?? ，而根据康托尔的上述定理，我们还可以考虑2?? 的幂集等。

　　这是一个没有结尾的故事。魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集、不可数集这样个别的无穷数的怪物。妖怪一旦逃出魔瓶，就再没有什么能阻止康托尔了。通过反复应用康托尔定理，可以给出一个生成更大超限基数的永无尽头的不等式链。也就是说，这一不等式链可以无限写下去：

　　因而，无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次，而且是无穷多个层次！无限王国比我们最初预想的可热闹多了。

　　根据无穷性有无穷种的理论，康托尔对各种无穷大建立了一个完整的序列，并把这些基数称为超限基数。与之相对应，一般的计数数即自然数被称为有限基数。康托尔进一步创立了超限基数的算法。这种算法相对于“常识”，即有限数的一般算法而言，显得非常不可思议。在超限算法中，我们可发现很多奇怪的规则，例如

　　康托尔在开辟上面通向无穷王国的道路之前，还有过另一种奇思妙想。上述研究建立在基数理论上。基数考虑的是集合中元素的多少，没有考虑这些元素间可能出现的次序。这种比较数集多少的方法虽然有效，但与我们的习惯有点不同。我们通常在比较数目多少时使用计数的方式，即把不同的数按由小到大的次序排起来进行比较，这是利用了序数思想。康托尔早些时候思考的问题是：能否建立无穷的序数理论呢？

　　康托尔是在19 世纪80 年代开始思考这一问题的，并将自己的研究成果发表在1879 年到1884 年的《数学年鉴》杂志上，后来又被收入题为《关于无穷线性点集（5）》的论文中。

　　康托尔的起点很简单，他指出：自然数序列1, 2, 3, …是从1 开始，并通过相继加1 而产生的。他把这种通过相继加1 定义有穷序数的过程概括为“第一生成原则”（也称延伸原则）。康托尔将由此得到的全体有穷序数集称为第一数类。

　　按一般想法，显然其中没有最大的数。但康托尔却引入了一种新的设想，即“第二生成原则”（也称穷竭原则）：给定任一有特定顺序，但其中无最大元素的集合，通过穷竭可得出一个新数，它大于原集合中任何一个给定数。依照这一原则，从1, 2, 3, …出发，通过穷竭可以引出一个新数，康托尔记它为ω。在康托尔看来，这不再是潜无限观念中的∞ ，而是一个确实存在的数，是第一个超限序数。

　　通过以上两个原则的反复应用，我们就可以得出无穷多个越来越大的序数，如果采用序数算术的记法，那么将所有序数，从0 开始由小到大排起来，就形成如下的无穷序列：

　　0, 1, 2,（这是延伸）…, ω（这是穷竭）, ω＋1, ω＋2（, 又是延伸）…, ω＋ω＝ ω·2（这又是穷竭）, ω·2＋1, …, ω·3, …, ω·ω

　　它们的全体构成第二数类。

　　对第一数类，即1, 2, …而言，其中每个序数n 的基数为n。所有第一数类组成的集合是可数集，基数为?0 。

　　对第二数类，即

　　而言，其中每个序数的基数都是可数的。所有第二数类组成的集合的基数记为?? 。

　　如果无限制地使用第一和第二生成原则，第二数类似乎不存在最大元素。为此，康托尔引入第三生成原则（也称限制原则），目的在于保证每一个新数类的基数大于前一个数类的基数，而且是第一个这样大的。

　　因而，从自然数开始，反复应用三个原则不断攀升，就能得到“第一数类”“第二数类”“第三数类”……一系列的数类，它们的基数分别为

　　这样，康托尔不但给出了序数的一种系统的表示法，而且从另一角度创造了一种无限集的无穷谱系！

　　超限基数与超限序数一起刻画了无限，描绘出一幅无限王国的完整图景，它充分体现了康托尔那惊人的想象力。

　　* 本文摘自《数学悖论与三次数学危机》，韩雪涛著，人民邮电出版社出版。

　　选载自微信公众平台“每天好玩的数学”

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