吴国平:学完三角函数,你都能感觉拯救整个世界

  数学学习中,我们经常会利用三角函数知识来解决实际问题,如计算旗杆的高度、影子的长度、轮船是否会触礁等等。

  这让很多学生感慨学三角函数就像当电影里的“救世主”,总是能拯救于危难。

  在中学数学中,三角函数一般用于计算三角形中边和角度,常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式。

  因三角函数在导航、航海学、测绘学、工程学以及物理学等其他学科方面都有广泛的用途,因此三角函数在应用数学中占据重要位置。如三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值。

  那么三角函数这么重要,他们的符号是怎么来的呢?

  古希腊天文学派希帕霍斯为了天文观测的需要,制作了一个弦表,即在圆内不同圆心角所对弦长的表。从这里我们可以看出早期的三角学,是伴随着天文学而产生。“弦表”就是正弦表的前身,因此可以说正弦是最重要也是最古老的一种三角函数。

  之后古希腊的数学传入印度,阿耶波多作了重大的改革,如他称半弦为jiva,是猎人弓弦的意思。

  后来印度的书籍被译成阿拉伯文jiva被音译成jiba,但此字在阿拉伯文中没有意义,后来又被误写成jaib,意思是胸膛或海湾。

  12世纪欧洲人从阿拉伯的文献中寻求知识。1150年左右,意大利翻译家杰拉德将jaib意译为拉丁文sinus,这就是现存sine一词的来源。英文保留了sinus这个词,意义也不曾变。

  虽然英文保留了sinus这个词,sinus并没有很快地被采用。冈特在他手画的图上用sin表示正弦,英国的奥特雷德也使用了sin这一缩写,同时又简写成S。法国的埃里冈在《数学教程》中引入了一整套数学符号,包括sin,但这些事件仍然没有受到同时代人的注意。

  十五世纪西欧数学界的领导人物雷基奥蒙坦,他于1464年完成的著作《论各种三角形》,1533年开始发行,这是一本纯三角学的书,使三角学脱离天文学,独立成为一门数学分科。

  直到18世纪中叶,逐渐趋于统一用sin余弦符号ces,也在18世纪变成现在cos

  cosine(余弦)及cotangent(余切)为英国人根日尔首先使用,最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现。

  secant(正割)及tangent(正切)为丹麦数学家托马斯·芬克首创,最早见于他的《圆几何学》一书中。

  cosecant(余割)一词为锐梯卡斯所创。最早见于他1596年出版的《宫廷乐章》一书。

  1626年,阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号:“sin”“tan”“sec”1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:“cos”“cot”“csc”

  虽然此时三角函数符号已经差不多凑齐,但直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来。

  崇祯4(1631)三角学开始输入中国,邓玉函汤若望徐光启合编《大测》,作为历书的一部份呈献给朝廷,这是我国第一部编译的三角学。在《大》中,首先将sine译为正半弦,简称正弦,这就成了正弦一词的由来。

  1949年新中国刚成立,教育受前苏联教材的影响,当时我国数学书籍中“cot”改为“ctg”;“tan”改为“tg”,其余四个符号均未变。

  三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率,也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们扩展到任意正数和负数值,甚至是复数值。

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