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本期内容有哪些
听一听：简缩数学推理过程和缩短相应运算环节的能力（1）
读一读：学生简缩数学推理过程的特点
做一做：学以致用试一试
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学生推理过程
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什么是思维的简缩？人们在解决熟悉类型的题目时，数学的推理过程会简缩吗？
简缩
在解决熟悉的题目时，心理过程会逐步简缩，这个事实早就被人们所熟知。特别是苏联教学法的专家索霍尔·特洛茨基以及埃恩，两位学者在他们所写的关于算术教学法论的著作中就指出：学生反复解决同一类型的题目时，心理过程的个别阶段被缩短了，并且不再被意识到；但当有需要时，学生完全可以自动恢复到详尽的推理过程。在苏联的心理学家中，维戈茨基大概是第一个注意到这种思维现象的人，他把这种“推理环节逐渐消失的现象，解释为思维的简缩”。
在四十年代，舍瓦列夫、梅钦斯卡娅，就分别从代数和算术材料中加以证实，当学生没有意识到他在实际运算中所用的一些规则和一般命题时，伴随着学生智力活动时的细致推论，简缩的推论在问题解决过程中占有一定的地位。因此，他在解题时，并不执行构成解法的完整而细致的那些推理和演绎的全部环节。梅钦斯卡娅证实，即使学生在做算式例题和基础习题时，也会出现推理过程中的中间环节会逐步简缩，直到完全撇开这些环节。最终，题目的条件及答案之间的直接连接关系就会形成。
舍瓦列夫和梅钦斯卡娅所提出的观点，在一些学科的材料中，得到了如索科洛夫、塔莉金娜、多布拉耶夫、英迪克和雅罗休克等人的证实并变得更加的具体化了。梅安高兹也提出了类似的看法，他们强调指出，简缩推理有赖于题目的结构、难度，以及解题的熟练程度。但没有人从能力问题的观点出发，对此做个特殊的分析，也没有人揭示过，不同数学能力的学生在简缩推理的表现上有什么特性。
我们关于简缩数学推理的研究，在第九章提过，研究分为四个阶段进行。初期，我们主要研究了过程的质的方面；后期，我们才注意到过程的量的描述。
影响简缩推理的过程与什么有关？专家学者们有怎样的见解？
学者观点
在分析具体材料以前，我们注意到了一个事实。所有研究者都指出，推理的简缩是逐步的、渐进的，并且是在相当数量的同一种类型的练习基础上展现出来的。舍瓦列夫强调指出：“在掌握一类问题的最初阶段，是用详细的推论解决问题的。最后阶段，则用简略的推理过程。”梅钦斯卡娅指出，“推理的简缩完全是因为练习的结果”。波戈亚夫林斯基也用类似的语气指出：“思维过程，最初是完全按详细方式进行的，当学生经过一定程度的练习后，就逐渐表现为简缩的省略形式。”卡尔梅科娃和其他许多研究者也提到了同样的事实。
数学学习能力不同的学生，他们简缩推理的过程是一样的吗？
学生差异
当然，对于大多数数学能力平常的学生来说，这个观点是完全正确的（并且完全为我们的材料所证实）。但对能力强的学生来说，显然情况就不一定是这样。能力强的学生相当明显地倾向于迅速而彻底地简缩推理和相应的数学运算环节，在某种意义上说，就是“即刻”进行的，对他们来说，甚至在全新类型的第一个问题中，就表现出推理的简缩。
我们举几个例子，（为了让大家能够更加清晰体验学生推理简缩的过程，我们会把例题中的推理细分为一个个的按顺序编号的环节），在系列V中让能力强的学生S.T.从解例题（C + D + E)2开始（这个学生学习过二项和的平方公式后解第二个例题）：
学生推理过程
显然，推理的简缩在这个阶段就产生了。一般说来，一个人不可能完全用详细的步骤进行思维，甚至在我们所引证的例子中，也没有从开始一直到最后都是详细推理的完整过程（逻辑分析表明，解这样一道例题需要进行几十次的推论)。但是，此时重要的是探索当转到解答这类题的另一问题时，推理过程是怎样缩短的。这个学生以下述方式解答（m+x+b)2这道题：
学生解答过程
分析
这个学生按顺序解第五题（也是熟悉了这个公式后第五次做这样的问题）（一5x + 〇.6xy2)2。他是那样轻松和自信地解完了这道题，以致使我们没有机会追踪他的推理过程。他把题目看了一眼，就笔不离纸地马上写出答案：25x2 + 〇.36x2y4— 6x2y2，这时只听他说出这些话：“平方……，另一个……，负到正。”主试者问：“你怎么解这题的？”学生回答：“没有什么好思考的，刚一看到问题就知道答案。”很清楚，当他解题时，他记住的不是法则和定义（既不是一般的法则-------二项式定理，也不是特殊的法则------单项式平方的法则，或是单项式乘法的法则）。一旦学生立刻断定这个式子是两个数的和的平方，就不知不觉地直接进行了必要的简短运算。在解这个题时推理的详细步骤就被连续的运算浓缩为简短的联系了。这和苏联心理学家谢瓦列夫、索科洛夫、英季克、多布拉耶夫等这些人所确立的观点是完全一致的。
苏联心理学家的观点大意是说：在详细的推理过程转变为简缩的推理过程中，解答过程中最起作用的那些法则在意识中保持得最久。
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学以致用试一试
1.在解决熟悉的题目时，心理过程会逐步（ ），这个事实早就被人们所熟知。维戈茨基把推理环节逐渐（ ）的现象，解释为思维的简缩。
2. 所有研究者都指出，推理的简缩是（ ）的、（ ）的，并且是在相当数量的（ ）的练习基础上展现出来的。
3. 苏联心理学家的观点大意是说：在（ ）的推理过程转变为（ ）的推理过程中，解答过程中最起作用的那些法则在意识中保持得最久。
参考答案：
1.简缩 消失
2. 逐步 渐进 同一种类型
3. 详细 简缩
你若盛开 蝴蝶自来
本期审核人：俞国芳、余爱军