美国加州版教材是如何编排“轴对称”的?

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  大家好,我是章颖,来自杭州新世纪外国语学校,是朱乐平名师工作站第25组的成员,在一课研究的微信平台中,期待与您相遇共同探寻一课研究之路。

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  本期内容有哪些

  听一听:教材关于“图形的运动”的处理建议

  读一读:美国加州版教材是如何编排“轴对称”的?

  做一做:汉字中的轴对称

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  轻轻松松听听书

  节选自张奠宙教师刊登于《小学数学》(数学版)的《小学数学如何实现从直观到抽象的飞跃——谈教材里关于“图形的运动”的处理》

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  坚持阅读8分钟

  教科书作为教学的重要载体,是各个国家相互交流和借鉴的重要部分。轴对称又是小学数学课程教学中“图形与几何”中的一个重要的内容。本文选取了美国加利福尼亚教材(以下简称“加州教材”)对“轴对称”进行分析,希望通过了解他山之石,拓宽我们的视野。

  教材编写结构是怎样的?

  当编者对“轴对称”的教学目标设定有所不同时,所编写的教材往往就会呈现不同的编写顺序,因此,了解教材结构可以了解不同的学习序列。

  《加州版》教材在编写上分为以下几个步骤:

  1.通过镜子的移动了解移动后所看到图像的特点;

  2.按照所给步骤操作研究镜面对称,了解什么叫做图形的全等;

  3.探究不用镜子如何辨别镜面对称,通过连接镜面点并测量,通过讨论得出定点之间的连线被对称轴垂直平分,且到两点之间的距离相等。

  4.给出对称轴的定义;

  5.移动镜子,直至将镜子放在对称轴上,感知镜面对称与轴对称图形之间的关系;

  6.画出所给图形及正方形所有的对称轴。

  课题名称有什么特点?

  国内各套教材关于轴对称这一内容的课题基本都叫“轴对称”,而《加州版》的课题则叫做“镜像和对称”,可见《加州版》在教学对称时将镜面对称与轴对称同时教学,并从镜面对称的三维空间转移到轴对称的二维空间上来。此外,《加州版》教材在课题旁还给出了本课的教学目标:

  

  翻译如下:

  

  《加州版》教材的引入并没如同国内大部分教材那样,先给出轴对称图片,然后让学生们从已有的生活认知过渡到数学理解。《加州版》是先让学生联系实际理解镜像带来的运动感,教材给出明确的操作步骤,也给出了讨论的内容,这样的引入比给出轴对称图片更有动感,更能激发学生探究的兴趣。同时,引入部分还给出了装置的名称,为后续做实验做好准备。

  “轴对称”的教学有什么特点?

  《加州版》教材在教学轴对称前,用了2页5道题的篇幅让学生通过操作、实验、画图、猜想、验证等活动让学生了解什么叫三角形的顶点、什么叫全等、什么叫镜像、什么叫镜像线,这些概念的理解有助于学生更容易的去理解轴对称概念。

  

  翻译如下:

  

  比如教材第14步通过在对折线(此时还未出示对称轴的定义)上放置一个镜子,请学生描述所画三角形与镜子中的三角形有什么关系,并通过移动镜子,观察所画三角形与镜子中的镜像之间的变化,最后再把镜子放回对折线上,找出三角形三个顶点的镜像。

  在这个步骤之前,教材请学生通过折一折,描一描,看一看,了解什么叫做三角形顶点。在这个步骤之后,教材又让学生了解什么叫做图形的全等。理解这一概念后,再画一画三角形及其镜像图形,通过对折,找出镜像线。

  在这个过程中,学生们认识了两个三角形顶点在轴对称图形里,就是图形在轴对称图形中的对应点;镜像线引申到轴对称图形里就是对称轴。

  通过这些画一画、移一移、找一找、说一说等实际操作,学生从易到难地理解轴对称图形。

  “对称轴”的教学有什么特点?

  对称轴是轴对称图形的重要组成部分,对称轴两边的图形通过对称轴对折后完全重合,在中国的教材上,对称轴有两种表述形式,一种用实线、一种用虚线,《加州版》教材采用实线,但《加州版》教材有一个非常显著的特点,对称轴所在直线的前后端用箭头告知延伸方向。孩子喜欢哪一种轴对称的表达方式呢?这需要实证研究。

  

  “轴对称图形特征”的教学有什么特点?

  《数学课程标准》在第三学段提出这样的要求:“通过具体实例了解轴对称的概念,探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分”,因此国内所有教材都没有教学轴对称图形的特征,而《加州版》教材则在这一内容教学时将轴对称图形的特征融入其中。

  

  翻译如下:

  

  《加州版》教材对轴对称图形的特征分三步进行教学:

  第一步:让孩子们把镜子放到对称轴上,思考怎样知道镜像和原图形是全等的?如果不用镜子能用什么办法?

  第二步:给出轴对称图形的一半,思考并解释说明所给点如果在对称轴上,那么它的镜像会不会在对称轴上?如果所给点只在图像上,而不在对称轴上,那么这个点的镜像是否会在对称轴上。

  以上两步,让学生们明白可以用连线的办法来思考轴对称图形上每个点的镜像所在的位置。紧接着,教材给出第三步,这一步又分为好多个小步骤去指导学生如何探究。

  首先让学生在所给图像上任意选择两个点,并找出它们的镜像点,然后将这些相关点连线,让学生测量连线上的相关点到连线与镜像线交叉点的距离,从而探索得出轴对称图形的性质。

  通过这样的动手探索,学生明白了什么是对称点,对称点的连线能被对称轴垂直平分这一轴对称图形的性质。

  《加州版》教材给我们的启示

  教材是教师和学生进行教学活动的重要范本,通过对《加州版》教材的分析,我们发现《加州版》教材有以下一些特点:

  1.重视数学操作,培养空间观念。

  轴对称图形的教学不论是从引入,还是“对称轴”的概念教学、轴对称图形的特征,都是让学生经历探索、猜测、验证,而且给出的指导步骤都非常明晰,这样学生根据教材所给的详细步骤逐步清晰改如何操作。通过镜子的移动,学生了解了什么叫镜面对称;通过测量,学生了解了轴对称图形的特征。学生在不断的操作验证过程中,空间观念得到逐步增强。

  2.重视生活、艺术的渗透

  在教材中,除了详细的步骤指导外,还重视引导学生思考,在引导学生探究轴对称图形的性质时不断进行自然科技、艺术文化的渗透,比如教材中出现的苍蝇、本土印第安人的那霍瓦地毯、回文单词、回文数字等,让学生体会到轴对称这一性质在日常生活及其他学科中都有出现,只要细心观察,能在日常生活中找出很多这样的例子。

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  试一试:汉字中的轴对称

  汉字中有很多是轴对称图形。一分钟内,你能写出多少个?

  答案:

  米、兰,曼、谷,釜、山,中,美,英,营,萺,暮,苜,墓,木,目,末,莫,茉,里,立,丽,栗,束,粟,芈,某,口,豆,豆,斗,瞢,莔,申,天,田,王,蔓,网,一,壹,益,义,贝,不,普,菩,菐,业,示,十,二,三,伞,善,土,凸,凹,类,来,莱,赉,皿,文,雯,晋,堇,巾,金,井,晶,品,平,苹,出,林,森,小,肖,困,贾,崮,罟,固,壶,吴,昊,黄,串,又,由,夹,甲,圭,只,主,且,其,火,合,草,曹,曺,宙,胄,菩,菐,普,因,音,茵,言,羊,央,炎,吉,士,示,日,曰,噩,垩,亚,丫,亜,穴,需,余,干,甘,岗,冈,个,工,贡,古,大,畣,幸,辜,莘,辛,杏,显,类,雷,耒,蕾,荼,霖,并,禀,夫,富,芙,非,菲,霏,斐,芾,查,茶,叉,出,苴,具,莒,呆,丰,奋,奉,粪,焚,甘,冈,干,苷,黑,回,吉,基,击,只,支,再,章,蓁,曾……

  

  你若盛开 蝴蝶自来

  

本期审核人:王楷胤 丁柯丹

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