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大家好！我是胡早娣，来自杭州绿城育华亲亲学校，是朱乐平名师工作站“一课研究”第4小组的成员，很高兴再次与您相遇。
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听一听：小学生解答应用问题难点的心理分析
读一读：人教版整数两级运算应用问题“序”与“学”的研究
玩一玩：有趣的“语文课”
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——选自《现代新思维小学数学教育》（张天孝著）
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坚持阅读8分钟
人教版整数两级运算应用问题
“序”与“学”的研究
“序”的研究
课标发展“序”
2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将“应用题”更名并扩展为“解决问题”，彻底打破了应用题作为独立领域的传统格局，并将解决问题融于“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”等领域之内。10年后，2011年颁布的《义务教育数学课程标准》，把“解决问题”改成了“问题解决”，同样融于“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”各个领域。
应用问题是“问题解决”的下位概念，指我国传统课程中数与代数领域中的问题，主要是把日常生活或经济活动的实践问题，用语言、文字或图形、表格来表示已知数量与未知数量之间的相互关系，而求未知数量的问题（张天孝《现代新思维小学数学教育》第275页）。
整数两级运算应用问题是加减一步应用问题和乘除一步应用问题的排列组合，是一组系列，从加减和乘除的排列组合来看，有八种基本类型：乘加（×＋）、乘减（×－）、除加（÷＋）、除减（÷－）、加乘（＋×）、减乘（－×）、加除（＋÷）、减除（－÷）。
教材编排“序”
人教版教材（2013版）将“整数两级运算应用问题”的教学，放在二年级下册的第五单元。
例题编排“序”
整数两级运算应用问题的例题，人教版只安排了1道例题（如下表），与浙教版、北师大版、西师大版比是最少的。
从上表可以看出，人教版的例题八种类型中占了1种，浙教版7种，北师大版6种，西师大版6种。人教版唯一的一个例题的类型是“—÷”，其它三个版本的共同点是例题都是从乘加（×＋）开始教学的，即先求几个几的和，再求总数。
习题编排“序”
人教版教材在例题所在单元的练习和第十单元的“总复习”中对整数两步运算应用问题进行了拓展，在后续的教材中进一步丰富。如，三上的第五单元“倍的认识”、第六单元“多位数乘一位数”、第十单元“总复习”；三下的第二单元“除数是一位数的除法”、第四单元“两位数乘两位数”；四上的第四单元“三位数乘两位数”、第六单元“除数是两位数的除法”；四下第一单元“四则计算”、第三单元“运算定律”，与其它教材比较如下。
从上表可以看出：从类型看，北师大版和浙教版教材在练习编排时把整数两步运算应用问题的八种类型都涉及到了，而人教版和西师大版“除加”的应用问题没有涉及；从数量看，人教版教材编排的练习题最少，约是浙教版的1/7，北师版的1/3，西师版的1/2。
学生学习“序”
学生学习的逻辑起点
学习应用问题单元前，学生已经学习了有关“加、减、乘、除”的一步计算的应用问题，掌握了基本的数量关系，积累了一定的解决简单应用问题的经验。人教版二下第五单元“混合运算”共安排了4个例题，例1、例2、例3分别学习了同级、两级和带括号的两步混合运算式题的计算。
学生学习的现实起点
对我校二年级140名学生从两个维度按不同水平层次进行了前测，前测情况如下表。
从上表可以看出发现：一步应用问题中有隐藏信息的错误率较高，达到17.4%；和例题相似度较高的两步应用问题的正确率达到92.8%，但多维度处理信息的能力较弱，前测中有一道题“根据3个信息提出问题”，如果有序思考可以提出四个问题，前测结果提出4个问题、3个问题、2个问题、1个问题、0个问题的学生各占4.4%、17.4%、62.3%、11.6%、4.4%，说明学生找到所有关联的信息并提出问题有一定的困难；学生也能用三步来解决问题。应用问题本身的结构和学生能够透过情节的理解把握数量关系的能力是问题解决的关键。
“学”的研究
根据对课标、教材和学生“序”的分析，发现理清应用问题的数量关系是问题解决的关键因素之一，既要理清已知量与已知量、已知量与未知量之间的关系，还要理清哪些量没有关系。二下应用问题的教学应从“问题解决”的视角，站得更高，看得更远。
目标定位
1．掌握整数两级运算应用问题的解题思路和方法，能正确进行解答，并体现解题策略的多样化。提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。
2．经历解决问题的完整过程，多维度有序沟通信息之间的联系，借助线段图分析数量关系和理解“中间问题”，渗透数形结合、比较等数学思想方法。
3．积累解决应用问题的学习经验，培养认真严谨，及时反思的学习习惯。
教学实践
改编学习材料，让思维发散
首先，我们对例题进行了改编。教材中的例题（图1），改编后的例题（图2），改编体现在两个方面：
图1
图2
学习材料变“强结构”为“弱结构”
原例题学习材料的呈现，编者已对学习材料进行了结构化的处理，把有关系的信息组合在了一起，学生根据第一个对话框自然而然就能求出“还要烤多少个？”改编后的例题把一个对话框中的两个信息拆成了两个对话框，3个信息独立存在，寻找有关联的信息，结构化的处理要学生自己完成。
解题策略变“一维”为“多维”
为什么要把“一共要烤90个面包”改成“一共要烤72个面包”，我们认为这样的改动能有效促进学生多维度地思考数学问题。“一共要烤90个面包”中的数据“90”可能会把学生的思维就局限在了用两步计算（即先减后除），不可能考虑到三步计算，即先算一共要烤几次？90÷9=10（次），再算已经烤了几次？36÷9=4(次)，最后算还要烤几次？10-4=6(次)，因为学生计算的逻辑起点是表内除法，90÷9没有学过。把“90”改成“72”克服了学生因计算而造成思维的局限性。
提供解题支架，让思维可视
小学生的思维处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，如果教师一味的从字面上去分析题意，用语言表述数量关系，学生难以理解；有时学生会做题并不表示数量关系是清晰的。如何帮助学生理解数学问题中抽象的数量关系，提高解决问题的能力，线段图是学生理解抽象数量关系非常好的工具。不用书上的色条图而用线段图，主要考虑色条图本来就是线段图的雏形，线段图的使用在问题解决中更具有普遍性。但对二年级的学生来说直接画线段图是具有一定难度的，因此，教师为学生提供了一个半成品的线段图，完成3个填空以后，老师继续让学生在线段图上找到“每次烤8个”“还要烤4次”。图3是一名学生原生态思维。
图3
学生的填法很有意思，剩下的每次烤8个填对了，烤了4次填错了。分析错误的原因，一是学生对“剩下32个，每次烤8个，还要烤4次”这三个量的数量关系不够清晰，它们三者的关系是32里面有4个8；二是学生对“数”和“数量”这两个概念区分度不高，头脑里更多是“数”的概念，4是8的一半，每份是8,4理所当然是8的一半。通过辩析，学生进行了调整，如图4。
图4
分层设计练习，让思维有序
学生在问题解决的过程中，实质上完成了认识上的两个转化。第一个转化是从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选有用的信息，抽象成数学问题，它是“建模”的起点；第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，分析其中的数量关系，探索解决问题的方法并求解，并进行检验，反思问题解决的全过程。
例题的教学，虽然有让学生去发现问题和提出问题，但呈现的信息不多也不少，与问题完全匹配，也就是忽视了第一种转化。因此，在练习设计时主要让学生体验第一种转化。另外，例题是图文信息表达的应用问题，在练习中增加纯文字表达的应用问题。
共设计了3道练习，体现了3个层次。第1题是仿练，与例题的区别它是一道纯文字表述的应用问题，而且在叙述方式上也进行了设计，即把“9次烤完”和“已经烤了5次”不相邻，让数量的出现顺序和常规的运算进程不一致，需要学生经过数量顺序与运算顺序一致的再调整的分析综合过程。第2题有无关信息的干扰，需要根据问题选择有用的信息来解决问题。第3题是培养学生逆向思维的能力，而且是开放的，如果‘3”表示“面包每袋3元”，则求出来的是“买7袋面包还剩多少钱？”如果“7”表示“花生每包7元”，则求出来的是“买3包花生还剩多少钱？”
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玩一玩：有趣的“语文课”
今天的语文课不同于以往，老师在一张9个空格的纸上，写了8个汉字，这8个汉字中隐藏着奥秘，如果聪明的你可以发现的话，你就可以知道最后一个汉字是什么。仔细观察这些汉字，你发现规律了吗？哪一个是问号处的汉字？
——选自《哈佛给学生做的1400个思维游戏》
参考答案
B。横着看，每一行的第1个字的笔画乘第2个字的笔画等于第3个字的笔画。
审核人：陈爱华 徐杏干
