子曰：“温故而知新，可以为师矣。”
孔子说：“温习旧知识从而得知新的 理解与 体会，可以凭借这一点就可以成为老师了。“
现代教育最直观也最不同寻常的特点之一，就是你只学习一次，然后，发现终究学无所成。我们一直在找有效的学习方法，向别人请教提高学习成绩的捷径。但最有效的也是最笨的方法便是不断重复，重复是保持记忆的唯一方式。
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五年级暑期第1讲：
质数与合数知识框架图
石头老师说：
对于合数进行分解质因数后的标准式，因为形式唯一，可以作为我们去分析乘积条件的极佳技巧。
分解成质因数后，再由质因数按照题目条件进行组合，方便我们更快和更全面的枚举出结果。
而分解质因数的方法：乘法拆分+短除法，则需要孩子们花一些时间练习扎实，达到对于常见合数要能够迅速分解的程度。分解质因数的熟练度也会直接影响到后面对于因倍的计算。
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五年级暑期第2讲：
因数与倍数知识框架图
石头老师说：
本讲涉及到六个概念，我们用两句话总结其中关系：
公因数是最大公因数的因数，公倍数是最小公倍数的倍数
这两句话也直接揭示在分析公因公倍关系时，最大公因数和最小公倍数是最重要的两个量。那么如何计算这两个量就是孩子们需要熟练掌握的地方。计算方法包括：短除法、分解质因数法、辗转相减法。
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五年级暑期第3讲：
分数加减知识框架图
石头老师说：
首先需要孩子们再次熟悉分数的意义和基本概念，包括：本质、组成、化简（约分）、分类、带假互化。
在加减法中，主要分为同分母和异分母两种形式，同分母直接相减，而异分母无非是通过扩倍通分为同分母分数，再进行加减。
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五年级暑期第4讲：
分数乘除知识框架图
石头老师说：
分数乘除计算规则比较简单，对于孩子们的难点和易错点集中于约分。初期孩子们对于可约分的数还没有感觉，需要反复强调结果约分这一点。
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五年级暑期第5讲：
牛吃草知识框架图
石头老师说：
牛吃草问题作为整数型应用题的最后一个内容，需要我们重点掌握其中分组的思想：用新牛吃新草，老牛吃老草的方式，抵消掉新草生长对于总草量的影响，进而完成题目的计算。
牛吃草问题基本分为四步：
①求：吃掉的量（2次）；
②求：草速=吃量之差÷时间之差；
③求：原草量=吃掉的量－新草量；
④分组计算：牛数或天数
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五年级暑期第6讲：
比和比例知识框架图
石头老师说：
分数计算和比例计算共同构成整个高年级的计算基础，需要在学习后再继续强化练习，方能真正掌握熟练。
比的计算包括：化简比、求比值、化连比，
比例的计算包括：等式化比例、解比例方程
其中易错点在于：
①孩子们容易混淆化简比和求比值的要求，化简比最后的结果务必是最简整数比，求比值的结果务必是一个数
②孩子们在解比例方程中，对于分数系数方程还不够熟练，需要一段时间适应。
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五年级暑期第7讲：
正比例和反比例知识框架图
石头老师说：
数学这门学科除了是研究数与形，另外一方面就是研究量与量之间的关系，而两量之间的关系往往可能紧密、可能微弱、可能复杂、也可能简单。咱们小学阶段，就先从最直接的两量关系：正比例和反比例入手去探索。
在这些关系中，我们总结了两句话来表达：
同大同小正相关，比值一定正比例
一大一小反相关，乘积一定反比例
在具体应用中，主要讲解了比例尺的计算以及基本应用题中蕴含的一些正反比例关系，结合份数来进行推算。比例法的主要使用会在后期行程问题中再深入研究和学习。
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五年级暑期第8讲：
共边模型知识框架图
石头老师说：
共边模型作为整个比例模型的基础，后期鸟头、蝴蝶、燕尾、相似四大模型的关系都可以通过共边推导而出。
在认识了共边关系后，需要我们熟练掌握：知小求大的份数计算和知大求小的分数计算方法，在共边关系的计算方法上不存在阻碍。
另外在题型上，也需要我们对于共边关系反向应用，除了由边长关系推面积，也需要掌握由面积关系推边长，在真正的杯赛考察中，边长与面积的关系反复推导才是最有可能考察的形式。
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五年级暑期第9讲：
枚举法知识框架图
石头老师说：
枚举法作为计数问题最基本同时也是最重要的方法，所蕴含的有序+分类的思想是我们学习的重点。
在题型上我们给出了两种：整数拆分问题以及过程型的计数问题，通过这两类问题的探索，去明确计数问题的基本要求。
以整数拆分问题为例，我们总结了三步走：
①搭架子：按照个数画出横线，方便我们从左至右依次枚举（有序思想）
②定排头：先把第一个数枚举出来，定好排头来分类简化后面数的枚举（分类思想）
③枚排尾：依次枚举后面的几个数，从小到大或从大到小（有序思想）
以过程型的计数问题为例，我们提出了树形图的枚举形式：按步枚举，线段相连。以树形图的形式清晰简洁的展现过程中的每一步节点，好随时观看限制条件是否满足。从题型上主要包括：传球问题、染色问题、数字排列问题、胜负局问题、路线问题。
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五年级暑期第10讲：
不定方程知识框架
石头老师说：
不定方程作为小学阶段方程的最后一站，需要我们以余数分析+等差规律的方式来分析和计算。
首先以找规律的形式可以探索发现到：不定方程的解以对方系数为等差，那么由这个规律就可以立刻化繁为简，只要能够拿到一组解，那么立刻可以通过等差关系推所有解。
而随着系数的增大，只靠枚举拿一组解的方法会越来越艰难，那么利用余数分析的方法来简化枚举就成为更好的选择。
我们可以把解不定方程总结为如下步骤：
①化简算式；②余数分析；③枚举取值；④等差推算
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五年级暑期第11讲：
数阵图进阶知识框架
石头老师说：
数阵图是一种非常好的锻炼发散思维的题型，在分析和填写过程中，需结合位置、数字、线和三个角度综合分析，锻炼孩子多角度考虑问题的能力。
我们需要通过这个章节的学习，帮助孩子在思路上从简单枚举上升到代数分析的层面，从而掌握更全面的分析方法。
我们可以将数阵图的分析方法简单归纳为：
①选线：灵活选线是分析数阵图的核心，在选线中注意两个原则：a、全面覆盖；b、重复位少；
②列式：因为线和与数和在数阵图当中是两个确定的条件，由确定条件出发是分析问题的起点，找到：线和=数和+重复位的关系，从而结合这个不定方程枚举可能情况；
③试填：最后由分析出的重复位与线和再来填写数阵图，会更加方便。
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五年级暑期第12讲：
分组与配对知识框架
石头老师说：
分组与配对所蕴含的就是数学中极为关键的整体思想，当条件过于零散时，灵活的打包整体思考往往是解题的关键方向。
我们在这一讲中通过各种各样的题型来帮助孩子认识到分组与配对方法的使用，包括巧算问题、数表问题、数列排列问题、数字和问题、选数问题等等。通过分组，我们可以得到整体上更好的计算方法或分析思路。
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五年级暑期第13讲：
找规律与周期知识框架
石头老师说：
规律思想可以说是所有数学原理出现的基本途径，发现规律、总结规律、应用规律的归纳法是我们在以后生活中非常重要的一种方法。
在咱们小学阶段，规律一般以数列规律和图形规律为主，同时也要求我们能够主动在情境下去探索规律。像在操作问题中的周期规律、报数问题中的周期规律、抽杀问题中的对应规律，在这个探索规律的过程中去勇于发现、尝试总结、大胆应用。
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五年级暑期第14讲：
棋盘中的数学知识框架
石头老师说：
在这一讲中所蕴含的是论证思想，我们在去说明一件事情的时候，不能只通过简单枚举去进行，而应该去深入问题，研究其性质，利用不变的性质来达成证明的目的。
这一讲以棋盘中的数学为引，引入了诸如路线问题、操作问题、覆盖问题等著名数学问题，强调如何通过性质来说明问题的思路与步骤。
注明：（以上配图截自学而思双师课堂五年级知识脑图，纸质版已经在每节课后同步配发给学员作为复习使用，图片版禁止用于商业用途转发）
双师课堂二期课程落幕
记录下孩子们的成长足迹
聚精会神听讲，不放过每一个知识和总结
迅速动笔，课堂练习时间分秒必争
课间抢红包，努力之后自然会有奖励
知识与方法的高效讲解，我们一起享受
主讲老师
吴志磊老师
★ 双师课堂五年级主讲老师；
★ 武汉学而思小学部高年级学科主管，学而思小升初负责人，小升初资深顾问；
★ 高年级超常班教练，主带五、六年级超常班；
★ 武汉市杯赛命题研究员，小升初2.5轮复习体系奠基人之一；
★ 历届小升初所带学员80%获得六年级杯赛（华杯、迎春、创新、新希望、世奥）奖项，其中30%取得一等奖的好成绩。
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