杭州
大家好！我是“一课研究”第20组的成员胡小丽，来自桐庐县春江小学，很高兴与您在一课研究的平台相遇！
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《数学学习的心理基础与过程》之位值与分数
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位值和分数的概念的相关研究
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位值概念与分数
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有关位值概念的教学有哪些相关研究
位值是小学阶段一个比较难学的概念，涉及一系列复杂的想法及关系，其中包括：为什么要用“10”作为基础，而不是用其他数字？“10”和“1”有什么关系？“X位数”与“第X位数”有什么区别？等等。因此，学生往往难以对位值概念获得充分的理解，也不能在使用计算机法则时运用位值概念。
从20世纪70年代开始，位值概念一直是数学教育心理学的一个研究热点，其中的一些重要研究结果包括：在贝德纳兹和詹尼弗对学生的位值理解所做的大量的研究中，他们发现：（1）学生把“个、十、百”的位值含义更多地根据位置的顺序来理解，而不是根据十倍的分组顺序；（2）学生把借位的含义解释为“删去一个数位，拿走一个，在下一位数位上加一”，而不是重新分组的一种手段。
• 整数和小数之间的位值联系（或相似）对学习是有利的，但是儿童通常只注意整数方面而未能适应小数方面（Hiebert,1992）。例如，通常的错误是学生把小数的排序当作整数，如说0.56大于0.7，因为56大于7；对小数的读法也好像是整数（如“点五十六”），这是形成前一种错误的原因
• 对位值缺乏理解的学生在理解小数时有一段困难时期。例如，学生会在心理上把小数分成整数部分和小数部分，例如把148.26近似为150.3（Threadgill-Sowder,1984）。或者，学生会认为“更多位”就意味着一个数更大，例如，0.1814比0.385和0.3都大。
• 有色的筹码和金钱经常被用来作为表示位值概念和运算的操作工具，但是它们却增加了认知的复杂性。原因在于，位值的观念不能通过筹码的颜色或金钱的大小来清楚地表示。
为了减少位值概念的教学困难，一些辅助工具应运而生，其中比较著名的是狄恩斯（Dienes,1971）的“狄氏多层算术积木”。这种积木除了可以表示十进位的位值概念以外，还可以表现五进位或二进位的位值概念。为了更好地使用这些教学辅助工具，狄恩斯提出了下列四条原则：（1）活动原则。教儿童玩积木前，首先就任其自由地玩弄积木，让他们了解积木的意义。（2）结构性原则。例如，儿童在没有认识位值表的概念之前，狄恩斯的积木便提供了十进位的基础概念。（3）数学变化原则。数学变量的变换情况并不影响变量之间的一些恒定关系。（4）知觉变异的原则。数学概念结果不会因为知觉受体的改变而改变。
除了用于手工操作的教学辅助工具外，近年来随着计算机辅助教学的兴起，研究人员还开发了许多用于位值概念教学的软件。其中，“分群与位值”软件提供了活生生的分群的工作：机器里放了一些以十为一组的球，然后十个十组成一百，一种叫“空间的钱（space money）”的东西戏剧性地使儿童能运用百、十、个位去表达特定的数目。接着让儿童试着去找出哪四个对象的集合会与给定的数字相符。儿童对包装球的控制力较差，但是动态性的活动是容易被注意到。分钱的任务涉及更多的互相作用，但其结果却是具有相当的象征性的，最后的也许是最好的。儿童选择了一个以二、五或十为分钱目标的对象，因此提供三种分群的可能性。
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分数的定义有几种
过去20年间，有关分数的学习与教学的讨论一直不断。这些讨论试图给予分数和有理数丰富的价值，以及提高理论及经验的地位，以引导课程的发展和教学。
分数一词来自拉丁文的“fangere”,它的原始意义是分开，通常用来描述一个被分开的全体的各个部分。作为数学概念的分数，由于其表征形式的不同，而产生了多种意义，其中包括：
(1)图形中整体的一部分（即连续量中“部分—整体”关系）：将分数表征成把一个连续的整体（连续量）等分后，其中的几部分与该整体相比较的结果。
(2)子集—集合关系（离散量）：当全体是离散量时，分数的意义为子集—集合关系。此时将分数表征成一个集合（离散量）等分后，其中的几组与该集合相比较的结果。
(3)除法中等分除的商：从等分割活动的观点，除法中的等分除显然与分数相契合。分数在除法中等分除的意义是单位量等分的历程与结果。
(4)小数：当单位量的等分割数是十，如果1∕10=0.1，或是与十进制结构连络，此时分数与小数相连络。
(5)数轴上的一点：其意义可分成两项，其一表示线段长；其二表示数轴上的一点。分数是数的意义是指位于数轴上这个点所表现的数值，当原点与单位长确定后，这个点与原点和单位长与原点的相对关系形成分数的数值。例如1/3是指在数轴右边单位长三等分中的一等分的长度或距离原点1/3单位长的位置。把分数看作是数轴上的一点，有利于建立数集的序关系和有理数的稠密性的原则。
(6)比（比值）：将分数表征成两数相比的比值、两个连续量相比的结果，这里不同于前面的全体—部分的关系。全体与部分的并置是统一量中的比较，而比是两个单位量之间的关系。特别的，比值是将此关系由单位量的转换而数值化的结果。
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儿童分数概念理解有那几个层次？
由于分数具有多重的意义，而且这些意义之间具有一定的层次性，因此，儿童分数概念的形成不是一个简单的过程。皮亚杰等人（Piaget,Inhelder&Szeminska,1960）曾对3岁至8岁儿童的分数概念发展过程做过一系列研究，结果表明：
(1)4岁到4岁半的儿童对于将一个物品分为两半非常困难，在分割之前没有预想的计划或图示。就分割的图形形状而言，以长方形比较容易，圆形次之，正方形较难。这个阶段的最大特征是缺少部分与全体的任何关系，儿童不会注意到他所接触的部分是某个较大的全体之中所包含的元素。
(2)4岁到6岁的儿童对于规则的、小范围的东西有分为两半的能力，但如果原来的整体大小增加了，其分成一半的能力便要延缓了。将物体分成三部分的能力尚未表现，在分割图形中利用长方形的饼比较容易解决。
(3)6岁到7岁能够成功实施三等分，而不必利用试误的方法，但对于操作的了解仍然处于具体的操作层次，以分饼为例，在这个阶段的儿童具有整体的守恒概念，因此他们能够了解将各个分割块数所得到的总量与整个饼是一样的。
(4)10岁左右的儿童能实施六等分的分法，首先是以三等分法分一个饼，然后再将所得的三块饼每块再用二等分法分一次。
赫伯特和特尼森（Hiebert&Tonnessen,1978）研究5岁到8岁儿童的分数概念发展情形，发现与皮亚杰（Piaget,1960）的结果并不一致。例如处理面积问题的分数问题时，他们发现儿童分数概念的发展顺序为：1/2→1/4→1/3→1/5→1/6，次结果与皮亚杰等人相同；但是若改以长度模式呈现时，则儿童分数概念发展顺序为：1/2→1/3→1/4→1/5→1/6。而帕特尔和萨瓦达（Pothier&Sawada,1983）的研究发现，儿童在处理等分长方形或圆形区域时，其分数概念发展的顺序为：1/2→1/4、1/8→1/3、1/5→1/9、1/15。
此外，一些等分概念的研究也支持此结果。儿童早期在分割几何图形时，采取的是“分半”（halving）的策略，并重复做分半。
依据帕特尔和萨瓦达（Pothier&Sawada,1983）的研究发现，将儿童等分概念分成五阶段来说明分割能力的发展，儿童在阶段三“偶数等分阶段”还无法获得1/3和1/5。迈克（Mack,1990）以8个六年级儿童为研究对象，探讨儿童解分数问题的情形，通过个别访谈和个别教学后发现，若是给这些儿童生活情景的分数问题，他们大多可以依其旧经验与非正式知识顺利地解决问题。但若是直接给予分数符号的问题，则常发生错误。例如：有两个16寸大的披萨，牛肉口味的披萨分成六块，海鲜口味的披萨平分成八块，然后问儿童：“那一块较大？”儿童能够回答“牛肉口味分成六块份数比较少，所以每份比较大”。若是改问儿童“1/6和1/8哪个大”，大多数儿童会回答“1/8”，因为“8比6大”。
从上面的研究结果可以发现，虽然儿童分数概念的发展顺序大概一致，但仍可能存在某些个别差异的情形，同时其对于分数符号所代表的意义也不容易理解，常以分母的大小来决定分数的大小，并未考虑分子与分母的相互关系（Behr et al.，1984；Hunting,1986）。因此，教师应该先了解学生分数概念发展的背景，才能以更适切、更客观的角度来设计教学以及引导活动。
除了分数概念的形成过程外，一些研究者还仿效范希尔的几何思考水平，讨论了分数概念的理解层次。如哈特（Hart,19810曾经形成两份分数概念试题，其中一份包含了分数的意义、等值分数及分数加减法运用，用于评量12、13岁的学生。由此区分了分数概念理解的如下层次：
层次一：能用部分-全体来表示1/2、2/3的分数意义。
层次二：能利用子集——集合来表示分数，能处理含两倍关系的等值分数（例如：1/3=2/□),能做相同分母的加法问题。
层次三：能利用等值分数写出分数符号或图标，能处理不只是两倍关系或较不熟悉的等值分数。
层次四：能解决需要不止一个运算的分数问题。
根据哈特的这个分类，可以较为清楚地知道学生对于分数概念的了解，应是由部分——整体模式过渡到子集——集合模式，然后是等值分数的了解及应用，最后是分数的四则运算问题。这其中，等值分数的概念不仅是儿童由整数系扩展到有理数系的关键所在，且在学习分数的比较大小、分数四则运算问题的处理，以及比值、比例等基础科学知识所需的重要的数学概念上，更是与之息息相关。但研究表明，这是分数概念中最难理解的部分，许多学生都难以理解“一个分数可以有许多不同的名字、同一个分数不同的名称不会改变它的量”（Hunting,1983；Behr,Wachsmuth,Post&Lesh,1984）。儿童往往会在等值分数概念学习上遭遇到瓶颈，造成了所谓机械性的理解，只要将分子、分母同乘或同除一数的公式记住，却不了解等值分数所隐含的分割活动、单位量转换以及单位分数等概念
在分数概念的形成过程中，有四个关键的因素:
(1)对单位量的认知。处理分数问题最重要的一个概念就是单位量的确认，例如：学生在回答一盒鸡蛋有10个，其中的一个是几盒的问题时，能够回答1/10盒；或者是一盒鸡蛋有10个时，学生能将1/5视为10个鸡蛋的五等份中的一份，就是2个鸡蛋；2/5视为10个鸡蛋的五等份中的两份，就是4个。学生在解题时，能将给定的单位量内容视为一个整体，再分辨给定单位（盒）和单位分量（个）之间的关系后，再予以分割。
(2)具有等分割的概念。处理分数问题的另一个重要的概念就是必须有一个可以除尽的全体。学生开始接触正式的分数课程时，大多从分东西的经出发，然后以圆饼图或方形图介绍分数，因此学生认为几分之几就是要做“分”的动作，而且分完没有剩余。例如：有一箱饮料24罐，1/4箱是6罐；2/4箱是12罐。因此6罐是一份，一箱刚好是4份。
(3)理解部分与整体之间的关系。分数具有部分和整体之间的关系，学生视分数a/b为一个数，且a为整体b的部分（连续量情境）。例如：一箱饮料有24罐，1/4箱是6罐，因为6罐为一份，一箱刚好是4份，1/4箱是4份当中的其中一份。
(4)确认单位分量（数）。当儿童操作再细分的部分概念或子分割时，他们了解到此细分的部分是全体的一部分，同时这一个细分的部分本身也是一个可以再细分的全体。例如：一盒鸡蛋有10个，学生能够将1/5盒视为10个鸡蛋的五等份中的一份，就是2个鸡蛋；这样以2个鸡蛋为一份的量总共是5份，为一盒，就是10个。学生在解题时，能将给定的单位量内容视为一个整体，再分辨所给定的单位（盒）和单位分量（个）之间的关系后予以分割，而分割后的每一部分都是相等的。
由于分数概念涉及多重意义和表征，因此，不同意义和表征之间的转换就是一个学习的关键环节。莱什、伯顿、布鲁克等人都强调各种表征之间转换过程的重要性。贝尔将这种转换过程的能力视为是学生学习数学的基本能力之一。莱什认为儿童能否在不同的表征方式中中自由转译,表示其对概念意义的掌握或对问题情境的理解程度。研究表明，转换能力不佳会影响数学学习及解题；强化或改善这些能力可以帮助学生学习和运用基本的数学概念。
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学以致用
1.分数的定义有（）种。
2.在分数概念的形成过程中，有四个关键的因素:（ ）、（ ）、（ ）。
3.儿童概念理解有（ ）个层次
参考答案：1.6种；2.对单位量的认知；确认单位分量；理解部分与整体之间的关系；确认单位分量。3.4个
审核人：葛素儿