（转自：国际田联《田径新研究》中文版）
讨 论
基于相当合理的假说，关于投掷远度相对于铅球质量的等式，在物理学家的眼中是明显错误的。在诸如等式（9）的条件下，人们自然会问在m→∞和m→0 两种极限状态下，会出现什么情况这样的问题。在两种极限状态下使用等式（9） 所得到的答案是错误的。在m→∞时，等式（9）预测L = a（如得出非0的结果）， 而在m→0情况下，等式（9）预测出一个具有无限远度的投掷距离。这就意味着我们的模型是错误的吗？当然不是，在两种极端情况下得出的可笑结果，可能是由于违背了一些基本假设所造成的事实。
让我们首先考察m→∞的情况。在我们的模型中心照不宣的假设是投掷运动员总是加速到同样的最后出手速度v，它与铅球质量无关。只要这个质量相对于投掷运动员的身体质量是小的，我们说直到10%，这种情况才能成立。随着器械质量变得更大，这个假设就瓦解了。在任何情况下，在物质世界存在各种限制因素的状态下，我们所能够想象的最重的铅球也不会超过直径11-13厘米，大约20 公斤。即使在m→∞这种情况下，一只20公斤的铅球也会显著改变加速阶段的动力结构。
关于m→0的极限情况，在这里心照不宣的假设是，传递到铅球的速度界限完全是由于铅球本身的惯性造成的。然而，当在后一种情况中质量变得很小时，身体各部分的惯性（实际上是臂和手）就不能被忽略了。另一个复杂情况来自轻的、快速运动的器械，空气阻力不可再次被忽略，也应包括对于这种效应所必须重新进行研究。总之，我们期待等式（9）一定对于4公斤铅球有效，或许也向下对于3公斤铅球也有效，可能在对于2公斤铅球的层面上会失去效度。
在讨论了等式（9）对于铅球质量的有效性限度后，现在有可能提供一个更好的模型，它的优点在于包括了正确的m→∞和m→0这两种极端情况，其代价只是具有一种适度的复杂性。首先我们考虑到加速阶段过程中的器械质量。这里推导出一个包括v0的表达式：
这里，m0是运动员的身体质量。第二，我们推出了在推球出手阶段运动员臂部的惯性，从而表达式（７）变成了：
把（10）和（11）结合起来，我们发现了对于形式d的一个表达式：
它可以被示意地写为：
然而，为了计算出投掷远度L，我们必须使用完整的表达式（4），这是因为并不能再次保证d是一个大的量度。我们在这里进行备注，出现了一个新参量ƒ。虽然我们期待它的合理数值也只是在几公斤范围内，精确地确定它并不容易，特别是在缺乏成绩结果的情况下，更加难以提出它的适宜数值。然而，通过要求p为正值，仍然能够得到一个上限。在这些结果中，ƒ值均小于6公斤。因此，基于这个假设，我们决定把ƒ值固定在5公斤的基础上进行计算。在m =7.25公斤和6公斤情况下，代入吉尔的成绩，我们发现p =113公斤米和q =100公斤米。用这些数值推测出使用5公斤铅球可推出24.1米的成绩，使用8公斤铅球可推出19.4米的成绩。从轶事的层面上说，吉尔采用1公斤铅球可推出37米的成绩，这个结果与采用等式（9）推测的结果相差甚远，但与L值却达到了良好的一致，对刚刚取得的p值和q值进行预测，结果是37.6米的成绩。
采用等式（4），推导出将L与m联系起来的一个有些复杂的表达式，这就能够十分容易地以曲线图视觉方式表达出这种依赖性（见图1）。这个曲线图是基于使用吉尔的参量绘出的。
而且，一旦获得了曲线图，就容易推出适宜这个曲线的简单表达式了，我们发现：
在l =286公斤米和k = 6.5公斤条件下，得到这种适宜性的一个有趣结果是， 精英投掷运动员们应该能够投掷一只同样直径、重量略微超过20公斤的锇质铅球，达到10米以上的距离（当然，我们并不认为任何人会使用这么昂贵的器械来组织一场比赛）。
除了本文所提供的有趣分析，我们还想知道将这个模型用于女投掷运动员们的情况如何。例如，如果瓦莱丽·亚当斯（ValerieAdams，新西兰）使用7.25公斤铅球能够推多远？我曾经有机会与她的教练员简·皮埃尔·艾格尔（JeanPierre Egger）通信，向他提出了这个问题。似乎在过去，瓦莱丽并没有进行专门准备，就把7.25公斤铅球推到了13米。而且，采用5公斤铅球也推到了18.24米，比她采用标准4公斤铅球的最好成绩差整整3米。让我们试图采用等式（14）来分析这个数据。
我们很快发现，l =127公斤米k = 2公斤。这就估算出使用7.25公斤铅球能够推到13.8米。我的感觉是这个成绩与上述结果相一致，它的教练员也同意，还说她还能够把铅球推得更远。事实上，如果使用2公斤铅球的数值推算k值，虽然它对于运动中身体部分（尤其是臂部）的有效质量产生影响，但这个值太小了。如果我们假设使用一个更加实际的k = 4公斤的数值就会发现，采用4公斤铅球、21.24米的成绩，l =170公斤米。根据这些数值，我们现在能够预测亚当斯使用5公斤铅球，应该能够推出18.90米的成绩；使用7.25公斤铅球，应该能够推出略微超过15米的成绩。这也是一个令人肃然起敬的成绩，它在洲际水平上是让许多男子投掷运动员们梦寐以求的。我们希望在她的教练员指导下，这种测试能够适合这名运动员的训练准备，在不久的将来也会出现一些新数据，来证实目前这种方法的有效性。
结 论
本文提供了一个使用轻、标准和重铅球预测投掷成绩结果的模型。希望这个模型能够成为教练员们在训练他们的运动员们的另一个有用工具。基于他们目前特征的预测，能够向运动员们提供一个有针对性的训练目标。
致 谢
我感谢简·皮埃尔·艾格尔（JeanPierre Egger），他友善地回答了我的问题，向我提供了瓦莱丽·亚当斯（ValerieAdams）的数据，以及关于训练投掷运动员们最有用的深刻认识。
作者联系方式：
巴兹尔·格拉马蒂科斯（BasilGrammaticos）
电子信箱：grammati@paris7.jussieu.fr