如何用快速简洁的方法解决八面体空间重构
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从美学欣赏的观点出发,在三角形中,等边三角形最值得引人注意,因为它的所有边在长度上都相等,所有角在大小上都相同。同理,在四边行中,正方形最富有吸引力。在具有五边、六边和多边形的平面图形中,以能够作成具有相同的边和角的图形最富有吸引力。这样的图形称为正多边形。
立体图形也有类似的情况。立体封闭的表面能够由正多边形形成,任何一面只能由同一种多边形构成。例如,一个立方体的表面就由沿边相连的六个正方形组成。一个多面体,如果有像立方体这种类型的表面,则称之为多面体。
图1 5种正多面体
被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得在其《几何原本》中证明存在且只存在五中正多面体。图1就是这些正多面体。在公务员考试中,除正十二面体和正二十面体未出现过之外,其他三种都是历年行测考试的考点。
接下来我们主要讲一下八面体的空间重构,我们使用一种方法,即交点对称边重合法:以八面体展开图四个面的交点为中心,与该交点对称的两个边折起来重合。
如图2所示,有两个四个面的交点,边1关于其中一个交点对称,故折起来重合。边2关于其中一个交点对称,故折起来重合。进而推理出来三条重合边。
如图3所示,有三个四个面的交点,边1关于其中一个交点对称,故折起来重合。边2关于其中一个交点对称,故折起来重合。边3关于其中一个交点对称,故折起来重合。进而推理出来三条重合边。
在图2和图3中,标相同数字的两条边在立体视图中是重合的,知道了两条边在平面中重合,在平面中也就可以移面。我们就利用这一点结合之前学过的剪头法来解下面的两个例题。
【例1】(2011-江苏)左边给定的是纸盒的外表面,下列哪一项能由它折叠而成?
A选项红色箭头左侧面是黑色面,在原图中红色箭头左侧是边1,而与边1重合的另一条边1所在面是白面,也就是说红色箭头左侧应该是白面。所以A
项错误。
在原图中黑色箭头右侧是白面,左侧是边3,而另一个边3所在面是
白面,也就是说黑色箭头左侧是个白面,而上面和下面都是黑色面。即黑色箭头所在面
只能跟两个白面相邻,而B项跟三个白面相邻,故B项错误。
C选项左右都是白面上面试黑面,与原图一样,正确。
D选项黑色箭头左侧是黑面,而在原图中左侧是边3,而另一个边3所在面是白面,也就是说黑色箭头左侧是个白面,故D项错误。
【例2】(2013-江苏)左边给定的是纸盒的外表面,下列哪一项能由它折叠而成?
解析:
A项箭头左面是一个白面三角形,而原图箭头左面三角形中有一条从角发出的垂直于底边的线,故A项错误。
B项箭头左右和上,都与原图一致,正确。
C项与A一样,箭头左面是一个白面三角形,而原图箭头左面三角形中有一条从角发出的垂直于底边的线,故C错误。
D项箭头左面是一个白面三角形,而原图箭头左面三角形中有一条从角发出的垂直于底边的线,故D错误。
以上就是八面体交点对称边重合法的应用。
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2016年7月13日
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