如何用快速简洁的方法解决八面体空间重构

如何用快速简洁的方法解决八面体空间重构

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　　从美学欣赏的观点出发，在三角形中，等边三角形最值得引人注意，因为它的所有边在长度上都相等，所有角在大小上都相同。同理，在四边行中，正方形最富有吸引力。在具有五边、六边和多边形的平面图形中，以能够作成具有相同的边和角的图形最富有吸引力。这样的图形称为正多边形。

　　立体图形也有类似的情况。立体封闭的表面能够由正多边形形成，任何一面只能由同一种多边形构成。例如，一个立方体的表面就由沿边相连的六个正方形组成。一个多面体，如果有像立方体这种类型的表面，则称之为多面体。

图1 5种正多面体

　　被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得在其《几何原本》中证明存在且只存在五中正多面体。图1就是这些正多面体。在公务员考试中，除正十二面体和正二十面体未出现过之外，其他三种都是历年行测考试的考点。

　　接下来我们主要讲一下八面体的空间重构，我们使用一种方法，即交点对称边重合法：以八面体展开图四个面的交点为中心，与该交点对称的两个边折起来重合。

　　如图2所示，有两个四个面的交点，边1关于其中一个交点对称，故折起来重合。边2关于其中一个交点对称，故折起来重合。进而推理出来三条重合边。

　　如图3所示，有三个四个面的交点，边1关于其中一个交点对称，故折起来重合。边2关于其中一个交点对称，故折起来重合。边3关于其中一个交点对称，故折起来重合。进而推理出来三条重合边。

　　在图2和图3中，标相同数字的两条边在立体视图中是重合的，知道了两条边在平面中重合，在平面中也就可以移面。我们就利用这一点结合之前学过的剪头法来解下面的两个例题。

　　【例1】（2011-江苏）左边给定的是纸盒的外表面，下列哪一项能由它折叠而成？

　　A选项红色箭头左侧面是黑色面，在原图中红色箭头左侧是边1，而与边1重合的另一条边1所在面是白面，也就是说红色箭头左侧应该是白面。所以A

　　项错误。

　　在原图中黑色箭头右侧是白面，左侧是边3，而另一个边3所在面是

　　白面，也就是说黑色箭头左侧是个白面，而上面和下面都是黑色面。即黑色箭头所在面

　　只能跟两个白面相邻，而B项跟三个白面相邻，故B项错误。

　　C选项左右都是白面上面试黑面，与原图一样，正确。

　　D选项黑色箭头左侧是黑面，而在原图中左侧是边3，而另一个边3所在面是白面，也就是说黑色箭头左侧是个白面，故D项错误。

　　【例2】（2013-江苏）左边给定的是纸盒的外表面，下列哪一项能由它折叠而成？

　　解析：

　　A项箭头左面是一个白面三角形，而原图箭头左面三角形中有一条从角发出的垂直于底边的线，故A项错误。

　　B项箭头左右和上，都与原图一致，正确。

　　C项与A一样，箭头左面是一个白面三角形，而原图箭头左面三角形中有一条从角发出的垂直于底边的线，故C错误。

　　D项箭头左面是一个白面三角形，而原图箭头左面三角形中有一条从角发出的垂直于底边的线，故D错误。

　　以上就是八面体交点对称边重合法的应用。

陕西华图教育

2016年7月13日

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