边数为偶数的正多边形

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边数为偶数的正多边形

奇特之处

　　边数为偶数的正多边形有一个很奇特的性质：它们都能被切割成一些边长相等（等于正多边形边长）但形状不一定相同的菱形。下面从正四边形即正方形开始研究。设正多边形边数为2m（m = 2， 3， 4， ......）。

　　（1）m=2。边数=2m=4。这时的正多边形是正方形。它已是一个菱形，不用切割。当然为了与后面的说法统一，也可以说，正方形可以切割成1个菱形。如下图所示。

　　（2）m=3。边数=2m=6。这时的正多边形是正六边形。如下图所示，我们有一个规定，从最上面的两条边开始构造出第一个菱形（红色），然后，自上而下地再构造出两个菱形（黄色）。所以，正六边形可以切割成3个菱形。3 = 1 + 2。

　　（3）m=4。边数=2m=8。这时的正多边形是正八边形。如下图所示，从最上面的两条边开始构造出第一个菱形（红色），然后，从上到下对称地构造菱形，先是构造出两个黄色菱形，然后构造出三个绿色菱形。这样做完后所得到的六个菱形一定是拼成一个正八边形，您可以简单计算一下它们的角度即可确认。所以，正八边形可以切割成6个菱形。6 = 1 + 2 + 3。

　　（4）m=5。边数=2m=10。这时的正多边形是正十边形。如下图所示，从最上面的两条边开始构造出第一个菱形（红色），然后，从上到下对称地构造菱形，先是构造出两个黄色菱形，然后构造出三个绿色菱形，最后构造出四个蓝色菱形。最后四个蓝色菱形一定会“合拢”到一起。所以，正十边形可以切割成10个菱形。10 = 1 + 2 + 3 + 4。

　　（5）m=6。边数=2m=12。这时的正多边形是正十二边形。如下图所示，从最上面的两条边开始构造出第一个菱形（红色），然后，自上而下对称地构造菱形，依次构造出两个黄色菱形、三个绿色菱形、四个蓝色菱形和五个粉色菱形。最后拼成一个正十二边形。所以，正十二边形可以切割成15个菱形。15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5。

　　（6）可以一直做下去。发现规律为：对边数为2m的正多边形，它按照上述方式被切割成的边长都为正多边形边长的菱形的个数为：

m（m－1）／2

　　其实对边数为2m的正多边形，它切割成的菱形的个数就是正整数数列前m－1项的和。或者说，它就是第m－1个三角数（1， 3， 6， 10， 15，...... ）。

　　还有一个规律，就是从上面数第一层的1个菱形（图中红色）与最下面一层（第五层）的5个菱形（粉色）的形状是完全相同的，都是30°和150°的菱形，个数是6。接着往里，第二层的2个菱形（图中黄色）与倒数第二层（第四层）的4个菱形（蓝色）的形状也是完全相同的，都是60°和120°的菱形，个数也是6。中间一层（第三层）是90°的菱形即正方形，个数是6的一半即3个。一共有5层，所以，有中间一层，这一层一定是90°的菱形即正方形。这个规律对m等于偶数都成立。比如前面说过的m=4及m=2的情况。

　　（7）前面我们在偶边数正多边形内部生成菱形的过程是从一顶点开始，顺次朝着一个方向左右对称地步步推进。下面的视频是另外一种生成方式。请注意视频中角ABC的变化，一定要特别关注90°、60°、45°、36°、30°这几个特殊角，这时的图形分别对应于正方形、正六边形、正八边形、正十边形和正十二边形。这个菱形十二面体是可以填满空间的。具体的实物盒例子就是石榴籽。一个石榴籽周围有十二个石榴籽。

　　（8）再来看一看前面出现过的那个被分割成三个菱形的正六边形。我们可以把它想像成一个正方体的平面图形。正方体的每个项点处都分出三条互相垂直的线段，分别以这三条线段中每两条为邻边作菱形也就是正方形，得到三个互相垂直的正方形面，如果称其为三面角，那么，两个这样的三面角就可以拼出一个正方体。下图可以看成是从一个顶点处连接的两个竖直面（黄色）和一个水平面（红色）。（这让我想起“七个方格还是六个方格那个视觉图形，因为下图还可以看出它是“天花板与两面竖直的墙，但这与本期所讲内容不直接相关。）

　　（9）前面讨论中还出现过正八面体的图形，它被分割成六个菱形。如果我们也把它看成是立体图形，那么，它是一个菱形十二面体（以前在《棋盘覆盖问题与菱形十二面体》这一期中讲过，点书名号内标题可链接到那里阅读）。

　　把上图左侧图当做平面图形看，红色和绿角这四个菱形是全等的，而两个黄色菱形却与那四个不同，是正方形。而若把它看做菱形十二面体，则十二个菱形面是全等的。如果把上图左侧图想像为我们看到的菱形十二面体朝向我们的六个面（朝手机屏幕外凸出），那么另外六个面就是把它上下颠倒并想像它往手机屏幕里面凹进，于是，这样两个“碗状”的面扣在一起就是菱形十二面体。这样的菱形十二面体中全等的十二个菱形的内角的度数是确定的。如果我们从空中某点出发作出四条等长线段，并让它们顺次的夹角是这个确定的角度值，那么，继续往下进行，最后一层的四个菱形一定会“封口”，也就是说，一定可以形成菱形十二面体。