张奠宙：“含有字母的等式叫方程”为什么是错的？

　　【编者的话】关于“什么是方程”的议论，多年不绝。但是教科书和工具书上都异口同声地说“含有字母的等式叫方程”。仔细想来，英文的equation原本就是等式的意思。方程二字则源出《九章算术》第八卷，却并无“等式”的含义。那么“方程”二字的本意究竟是什么？值得一探究竟。本刊记者邹佳晨，采访了华东师范大学数学系的张奠宙教授、汪晓勤教授，以及美国加州大学长滩分校的李旭辉教授，请他们谈谈看法。希望能打开我们的思路。

　　访问者 华东师范大学数学系 邹佳晨

　　受访者 华东师范大学数学系 张奠宙

　　华东师范大学数学系 汪晓勤

　　美国加州大学长滩分校 李旭辉

　　一、采访张奠宙教授：究竟什么是方程？

　　邹：近读某杂志的“问讯处”栏目，有一位读者问：“x = 1是方程，还是方程的解？”意思是已经知道x = 1，x已经不是未知数了，不应该看作方程。一位专家（也是某教材的编者）代编辑部回答说，根据“含有未知数的等式叫方程”的定义，以及通常用字母x, y, z 表示未知数，x = 1满足方程定义的条件，所以x = 1是方程。我很不解，讨论此类问题好像没有什么意思。张先生，您作为数学教育界的前辈，请问您如何看？

　　张：早在1993年，西南师范大学已故代数学家陈重穆先生就对这个所谓的方程定义提出质疑，认为这个定义不重要，应该淡化。20多年过去了，数学教育界一直不予理睬。各类教材将之奉为绝对真理，似乎是万万改不得的经典。结果就逼得一线老师来问“x = 1是不是方程”这样的怪问题。这样的讨论，几近文字游戏，对于理解方程思想方法并无裨益，一本正经地在杂志上讨论，毫无必要。

　　邹：那么，这个“定义”的问题在哪里呢？

　　张：所有的教科书上都用黑体字写着：“含有未知数的等式叫方程”。然后笔锋一转，就自说自话地改成“含有字母的等式叫方程”了。教科书上用一堆含有字母的代数式，让学生判别：“是不是等式？”、“有没有字母？”来认识方程。闹了半天，没有增加任何对方程概念本质属性的认识，很有点“庸人自扰”的味道。试问：有哪个学生因为不认识方程，导致数学学习困难呢？方程概念一旦脱离寻求未知数这一核心思想，也就远离了它的数学本质。

　　邹：许多人认为，在逻辑上给方程一个定义还是很有必要的。

　　张：首先，将“含有未知数的等式”偷换为“含有字母的等式”在逻辑上是不允许的。其次，“含有字母的等式”种类很多，可以具有不同的意义。这就是说，“含有字母的等式”未必都是方程。方程只是“含有字母的等式”的一种情形。这个所谓的方程定义，在逻辑上“以偏概全”。

　　邹：请您举例谈谈。

　　张: 方程中的字母是一个特定的数字，叫做根。但是字母可以表示其他的意义。以下是三个例子：

　　1.字母泛指任意数。例如，描述加法交换律的式子a + b = b + a , 也是含有字母的等式，但这并不是方程。

　　2.字母表示某类数。例如，三角形面积公式d × h，其中d是底边，h是这条底边上的高，这也和方程求未知数没有关系。

　　3.字母表示变量。例如，函数也是含有字母的等式：，等等，它们虽然可以看作是某条曲线的方程，但是一旦作为函数进行研究，在意义上是表示两个变量的依赖关系，这与方程求根也是不相同的。

　　这就是说，认为“方程是含有字母的一种等式”是可以的，反过来，认为所有“含有字母的等式都是方程”就不对了。“含有字母的等式叫方程”不能当作严格的定义来看待。如果非要拿它当基本出发点来判断是非，硬要人们承认x = 1是方程，恐怕是一种自我折腾，不足为训。

　　邹：是的。我们的教材上应该写“如果我们用字母表示未知数，那么方程就是含有未知数的等式。这样写，描述了方程的形式，又避免了以偏概全的逻辑错误。

　　张：但愿教材能这样做。我在这里打一个比方：“含有字母的等式”好像是一个馒头。你可以拿它当早餐，也可以当午餐、晚餐。全凭你的使用目的而定。说“含有字母的等式叫方程”，就像“当早餐吃的才叫馒头”，是不对的。为了真正揭示方程思想的本质，我建议进一步用以下语言描述方程：

　　“方程，是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立起来的一组等式关系。”

　　这样做，意义深远。涉及我国古代数学家的智慧，以及近代数学家在翻译西方数学著作时的远见。我的直觉告诉我，“方程”是李善兰特有的“中国创造”。详细论证要请教数学史家汪晓勤教授。

　　二、采访汪晓勤教授：equation为什么译作“方程”？

　　邹：留给我们思考的问题是：等式是西方的数学名词，方程则是中国古代的数学名词，它们的本意是什么？二者怎么会联接在一起呢？请您谈谈看法。

　　汪：维基百科上equation的解释是：

　　In mathematics, an equation is a formula of the form A = B, where A and B are expressions that may contain one or several variables called unknowns, and ‘=’ denotes the equality binary relation.（在数学上，方程是一个形如A = B的式子，其中A和B是含有一个或几个未知数的表达式，等号‘ = ’表示相等的二元关系。）

　　从这个定义看，equation的意思就是等式。那么，当年将equation翻译成中文时，直接译成“等式”就是了。为什么用“方程”二字呢？难道中国古代数学里的“方程”就是“等式”的意思？答案当然是否定的。中国古代数学里的“方程”二字，与等式并不直接相关。

　　邹：我翻开《九章算术》第八卷，标题是方程（郭书春, 2004）。所讨论的问题是：

　　“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”

　　汪：用今天的语言叙述，这是求解三元一次方程组的问题。中国古代，将方程组的各项系数和“实”之数，用算筹布列成矩阵状（即今之增广矩阵，也是“方”字的由来），然后用消元法变换这些系数（“程”就是计量），最后求得问题的解。

　　邹：那么中国古代是怎样界定“方程”的一般涵义呢？

　　汪：刘徽（魏晋时代人，生卒不详）是这样界定方程的：“群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。立列为行，故谓之方程。” （郭书春, 2004）结合《九章算术》方程章的问题，就可以知道，“方程”二字，其核心思想是借助一组等式关系求出未知数，所面对的是一个多元一次方程组。

　　邹：看来在中国古代数学中，方程只和多元线性方程组捆绑在一起，和一元高次方程求解没有关系。

　　汪：中国古代在高次方程求解上贡献很大，世称“天元术”。明末清初，西方的algebra 传入中国。中文音译为“阿尔热巴喇”，也称之为“借根方”术，那时没有把“天元术”和方程联系在一起。

　　邹：那要到什么时候呢？

　　汪：1859年，李善兰（1811 ~ 1882）和伟烈亚力（A. Wylie, 1815 ~ 1887）合作翻译英国著名数学家德摩根（又译棣么甘, A. De Morgan, 1806 ~1871）著的《代数学》（Elements of Algebra）。第一次将equation译成方程。原文是：

　　“Every collection of algebraical symbols is called an expression, and when two expressions are connected by the sign = , the whole is called an equation.”（A. De Morgan, 1837）李善兰和伟烈亚力将这句话译为“并代数之几数名为式，两式之间作等号，谓之方程。”（棣么甘, 1859）

　　从原文来看，equation 就是“将两个代数式用等号连接起来的式子”，全然还是等式的原始本意，并没有任何“未知数”之类的意思。那么为什么李善兰没有将equation直译为等式，而是意译为“方程”呢？我认为，这是一个意义深远的中国式再创造。

　　邹：这样说来，是李善兰把“方程”和“天元术”挂起钩来，认识到解线性方程组和解一元高次方程都是求解未知数的过程。

　　汪：这里，我们不妨揣测李善兰的深刻用意。李善兰作出这样的翻译，是一个整体思考。在李善兰看来，中国的天元术和解线性方程组，都是从一个或一组等式求出那些符号所代表的未知数之值。这样一来，方程就是一种等式关系，但又超出了“等式”原来的含义。中国的方程一词，是和“求未知数”、“求满足等式的根”这样的含义联系在一起的。因而“方程”一词具有中国算学特色，和西方的“等式”一词并不对等。事实上，方程作为最重要的一种等式，在中国以及东方的汉字文化圈里得到传播，使后学从中受惠。至于仅仅把方程看作“含有字母的等式”，那是过于简单化，辜负了李善兰的一番苦心。

　　邹佳晨：因此，我们要从中国古代数学的角度认识方程，而不要把方程回归到西方的“含字母的等式”里去。那您赞成张先生的建议么？

　　汪：我赞成张先生的建议，在教科书上采用如下的定义：

　　“方程，是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立起来的一组等式关系。”

　　这样的提法，既保持了中国古代借数量关系求未知数的核心含义，又符合西方数学中突出等式的界定，体现了中华文化与西方数学的一种融合。

　　总而言之，中国人对方程二字的理解，应该具有中华文化的底蕴，才能够更加深入地体会其中所蕴涵的数学思想方法。如果我们把方程仅仅理解为含有字母的等式，那就有点缺乏民族文化自觉性了。

　　三、采访李旭辉博士：美国数学教材如何处理equation这个词？

　　为了解国外关于方程概念的处理情形，邹佳晨向美国加州大学长滩分校数学教育终身教授李旭辉博士请教。

　　邹：李博士，请问美国人是如何认识 equation这个词呢？

　　李：我刚来美国时就意识到equation一词的多义性。在数学里，狭义的理解当然是含有未知数待解的等式。而广义上说就是等式（equality），都是指两个数量或表达式之间的相等。总体来说，除了“恒等式”（identity）之外，美国数学教材对“等式”基本不作什么解释，因为这是英语里一个浅显易懂的基本单词。而在美国这个十分强调种族和社会平等的体制里，equality（公平，平等）更是个大众媒体频繁使用的关键词。equation一词也很类似，时政新闻和评论里经常会有“political equation”, “balance the equation”, “change the equation”之类的措辞，equation一词被赋予“关联”、“平衡”之义。

　　邹：这么说，美国教材中没有将“含有未知数的等式”另外给一个名词，叫方程。

　　李：对。“方程”一词是中国特色的称谓，也是东亚汉字文化圈里的数学特色。方程二字将一类用等式表示、并由此求出未知数的数学模型凸显了出来，比广义的“等式”一词更加准确。

　　邹：方程的内涵确实比“等式”要丰富得多。现在我们常常说“方程思想”，是具有特定含义的。如果译成英文，恐怕不能直译为“等式思想”。

　　李：介于这广义和狭义之间，equation在英文数学教材里还有一种用法是用于函数的equation（表达式），如f (x) = 3x + 5。当然这种用法比较特殊，因为此处的等号除了表示输出值“等于”3x + 5，更多是表示“定义为”。大概由于这种特殊含义，有些教材称函数表达式为formula（公式）或者rule（法则），以显示与普通等式或方程的区别。

　　邹：这倒使我想起“F1（FIA Formula 1 World Championship，世界一级方程式锦标赛）”来。体育赛事怎么也会要解方程呢？原来是参加F1赛事的汽车的气缸、动力、传动、轮胎等等都要符合一套规定，即一组formula。formula也就顺理成章地翻译成“方程式”了。

　　李：从全球范围看，当代中学代数的核心内容可以归结为对四五种equation的研究：

　　1.古典初等代数（求解未知数）；

　　2.等式（和不等式）；

　　3.平面直线和曲线的方程（解析几何）；

　　4.函数表达式及其他表示（数学分析）；

　　5.一个新的内容是基于数据收集和分析而得出的模型，尤其是回归方程（数理统计）。解析几何里过两点求直线方程有确定的过程和唯一的结果。而过三个或更多个点求最佳直线就是统计回归，所得方程不唯一，具有不确定性。

　　上述几种equation同时出现在一本英文代数教材里，难免会产生混淆。中文将这些内容给予特别的五个名词（方程、等式、曲线方程、函数表达式、回归方程）以凸显各自的特殊意义，是很有好处的。

　　四、启示

　　通过这次访谈，我们发现：中文里的“方程”一词突出了“建立关联等式以求解未知数”这个重要的思想方法，比较具体，有可操作性；而英文里的“equation”一词更多是从宏观上强调其“平衡”、“等价”的本质，比较粗泛。如果我们将其混为一谈，是不准确的。当今教材中用“含有未知数的等式叫方程”来定义，是受到西方数学教材中对方程定义的影响，而在实际操作中，往往变为“含有字母的等式叫方程”，那就是谬误了。

　　明清以来，有识之士历经万难将西方数学著作译成中文，教育国人，旨在让中国数学赶上西方数学的进程。在翻译西方数学名词中尚考虑与中国古代数学之联系，李善兰将“equation”译为“方程”便是一番苦心，而今我们却忽视将西方数学与中华文化的融合，实属遗憾。在数学教学中，我们应该重视这样一种文化的融合，找到西方数学背后的“中国元素”。

　　来源：数学教学

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