九点圆的证明

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九点圆的证明

　　涉及的概念和定理：三角形。高线。垂足。垂心。线段中点。平行四边形的判定定理。一个角是直角的平行四边形是矩形。矩形外接圆的圆心就是矩形中心即两条对角线的交点。以圆的直径为斜边的直角三角形的直角顶点位于这个圆上。

　　下图中，三角形为一个锐角三角形，AD、BE、CF为三角形的三条高线。D、E、F三点（图中红色）为垂足——它们是九点圆问题中九个点中的三个点。

　　A'、B'、C'三点（图中蓝色）分别为三角形BC边、CA边和AB边的中点——它们也是九点圆问题中九点中的三点。

　　九点中还有三点，分别为垂心H与三角形三个顶点A、B、C连线HA、HB、HC的中点P、Q、R（图中绿色）。

　　那么，这九个点D、E、F、A'、B'、C'、P、Q、R共圆。如下图所示。

　　下面给出证明。请看下图。

　　如上图所示，连接C'B'、B'R、RQ、QC'，因为点C'、B‘、R、Q分别是AB、AC、HC、HB的中点，所以，C'B'是三角形ABC中与BC平行的中位线，而QR是三角形HBC中也与BC边平行的中位线，所以四边形C'B'RQ一定是平行四边形。并且进一步发现，它不是一般的平行四边形，而是一个矩形。是矩形这一点很重要。于是，它一定是某个圆的内接矩形，并且，矩形的对角线C'R和B'Q都是这个圆的直径，两对角线的交点就是圆心。

　　同理可以作出类似的两个矩形B'A'QP（图中粉色）和矩形A'C'PR（图中橙色）。因为这两个矩形都有一条对角线是刚才第一个矩形C'B'RQ（图中蓝色）的对角线，所以，这三个矩形的外接圆是同一个圆，它们的中心是同一个点，即它们的外接圆的圆心。设为O。如下图所示。这样一来，九个点中的六个点A'、B'、C'、P、Q、R已经共圆。即图中三个蓝点和三个绿点已经共圆。

　　下一步，只要证明另外三个点D、E、F（图中红点）位于这个圆上。这个也很明显，请观察三角形A'DP，它是直角三角形，而斜边A'P为圆的直径，所以，点D一定位于圆O上。同理，点E和F也位于圆O上。

　　所以，九个点D、E、F、A'、B'、C'、P、Q、R共圆。