塞瓦(Ceva)定理与三线共点

用塞瓦定理

证明几个重要三线共点问题

　　我们知道，一个三角形的三条中线共点，三条垂线共点，三条内角平分线也共点。其中有的容易看出，有的却不太容易。那么，这里，我要从塞瓦定理出发，来证明这三个共点问题。

　　先说塞瓦定理和塞瓦定理的逆定理。

　　塞瓦定理：有一个三角形ABC，点X、Y、Z分别是BC、CA、AB上的点。如果它的三条塞瓦线AX、BY、CZ共点，则有下式成立：

　　证明：

　　同理

　　以上三式相乘，得

　　塞瓦定理的逆定理：有一个三角形ABC，点X、Y、Z分别是BC、CA、AB上的点。如果下式成立

　　那么它的三条塞瓦线AX、BY、CZ共点。（证明略）

　　（1）用塞瓦定理的逆定理可以很轻松证明三角形三条中线交于一点。这是因为X、Y、Z分别是三边BC、CA、AB的中点，所以BX=XC，CY=YA，AZ=ZB。所以

　　所以三条中线共点，这个点就是重心或中心。

　　（2）下面用塞瓦定理的逆定理证明三角形三条垂线交于一点。如下图所示，AX、BY、CZ分别为BC、CA、AB边上的垂线。

　　因为

　　把上面三式相乘，得

　　所以，三条垂线交于一点，这个点就是垂心。

　　（3）下面用塞瓦定理的逆定理证明三角形三条内角平分线交于一点。如下图所示，根据正弦定理，有

　　两式相除，得

　　同理可得

　　以上三式相乘，得

　　所以，三线共点。其实，这个点就是三角形ABC的内切圆的圆心，即内心。

　　下一期讲塞瓦定理与梅涅劳斯定理的关系，但大概要到本月15号才能推送了，这是因为本人近四五天要外出，故不能每天推送了。本期还是利用了微信的定时发送功能，但这个功能只能今天设置今天和明天发送，后天及以后不能设定。您可以重读以往的内容，也可以休息一下大脑，待我回来后再交流。