正方体（及正八面体）的对称性

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　　上一期讲了正四面体的对称性，本期我们一同来看一看正方体的对称性。我先画出一个正方体如下，一共有13条对称轴（红色4条，蓝色3条，绿条6条）。下面逐步讲解。

　　如下图所示，AE为一条连接最远的两个顶点的对角线（体对角线），这样的对角线一共有4条。我们分析AE这一条，其他的也就清楚了。从顶点A处发出三条棱AB、AC、AD，这三条棱的地位是相同的。

　　于是，以AE为轴旋转120度，AB转到了AC，而AC转到了AD，AD则转到了AB。即三条棱轮换。再继续旋转120度，也就是从原始位置旋转240度，仍然是三条棱的轮换。若旋转360度，则回到了原始位置。这三次旋转，转前与转后完全重叠，就像是没有转动过。所以，AE轴为3次对称轴。另外三条体对角线都是3次对称轴。那么，绕这4条对称轴的旋转动作一共应该是多少个？按说应该是4×3=12个，但因为其中有4个都相当于没有动作，所以，4个只能算做一个，于是，绕这4条体对角线（3次对称轴）的变换一共有9个。

　　下面看一看那三条蓝色对称轴。如下图所示，正方体有6个面，每两个面相对，相当于有三对相对之面。每对相对之面中心的连线都是正方体的对称轴。由于相对之面都为正方形，所以，这4条对称轴都是4次对称轴。绕这3条4次对称轴旋转的变换，去除不动的4个变换（上面讲3次变换时已经算了1次，所以，这里及以后都不能再算了），还有9个变换。

　　最开始的第一张图中，还有6条对称轴（绿色），你能够想像得出来吗？下图显示了其中的一条。它是相对的棱CD和EF的中点的边线AB。图中画出了一个对称面（绿色），从而我们很容易看出，绕AB旋转180度，则点C与点D对调，点E与点F对调。绿色截面之前的半个正方体与其之后的半个正方体也互相调换。所以，这样的旋转之后的正方体与原正方体重叠。所以，我们说，对称轴AB是一个2次对称轴。而正方体一共有六组相对棱，所以，这样的2次对称轴一共有6条。绕这6条2次对称轴所作的旋转变换一共有6个。

　　最终，一共有24个不同的轴对称变换，可以使正方体看上去没有变。这24个对称变换组成正方体对称群。

　　下面说明一下正八面体的对称轴是与正方体的对称轴完全一样的。

　　下图中画出了与正方体对偶的正八面体。图中那三条蓝色线段就是正方体的那三条4次对称轴。很明显，它们也是正八面体的4次对称轴。

再如下图所示。其中那两条绿色线段是正方体的6条2次对称轴中的两条。很明显，它们也都是正八面体的2次对称轴。其他四条没有画出，您自己找一找。

　　再如下图所示。其中的那条红色的体对角线为正方体4条3次对称轴之一。请把头向右侧倾斜约45度。把正八面体看成是两个“王冠”对扣在一起。左下方的深绿色正三角形及与它相连接的三个蓝色正三角形是一个”王冠“，右上方的浅绿色正三角形及与它相连接的三个通透的正三角形是另一个反方向的”王冠“。那么，可以看出，绕这个体对角线旋转120度、240度或360度，结果就好像没有旋转，或转前转后重叠。所以，正方体的四条3次对称轴是对偶的正八面体的四条3次对称轴。

　　其实，由正方体和正八面体的对偶性，两者的对称轴完全相同是必然的。